利用等面積格網(wǎng)模型的GNSS PDOP高效評估方法

王智韜 宋淑麗 焦國強(qiáng) 黃 超

1 中國科學(xué)院上海天文臺，上海市南丹路80號，200030 2 中國科學(xué)院大學(xué)，北京市玉泉路19號甲，100049

隨著BDS-3系統(tǒng)以及Galileo系統(tǒng)的建成，全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)即將進(jìn)入一個新的發(fā)展階段[1-2]。與此同時，用戶對導(dǎo)航定位精度的需求也在日益增加，為進(jìn)一步滿足用戶對導(dǎo)航系統(tǒng)服務(wù)性能的需求，廣大學(xué)者及相關(guān)機(jī)構(gòu)都開展了針對各導(dǎo)航星座產(chǎn)品精度以及服務(wù)性能的研究[3-5]。其中針對衛(wèi)星星座狀態(tài)的研究主要圍繞對精度衰減因子PDOP的監(jiān)測與評估展開，PDOP既能反映觀測未知數(shù)在精度評定過程中系數(shù)陣的大小，也能體現(xiàn)觀測衛(wèi)星同用戶接收機(jī)之間幾何空間構(gòu)型所帶來的誤差大小，因此PDOP成為反映用戶定位精度的重要指標(biāo)[6-7]。國內(nèi)外已有相關(guān)機(jī)構(gòu)及學(xué)者開展了對PDOP的監(jiān)測評估研究，主要評估方式是在全球范圍內(nèi)構(gòu)建等經(jīng)緯度間隔格網(wǎng)模型GRID_ELL[8]，利用格網(wǎng)點來計算各個區(qū)域的PDOP，并以此來為該區(qū)域范圍內(nèi)的用戶提供參考。目前隨著GNSS實時監(jiān)測評估研究工作的進(jìn)一步開展，對監(jiān)測評估算法的效率和可靠性又有了更高要求。在PDOP實時監(jiān)測方面，先前使用的GRID_ELL模型存在大量冗余格網(wǎng)點，降低計算效率的同時也增加了監(jiān)測評估產(chǎn)品對于存儲的需求，不利于PDOP長周期實時監(jiān)測的開展。此外由于GRID_ELL模型受到投影畸變的影響[9-10]，高緯度地區(qū)格網(wǎng)點分布過于密集，一方面有悖于真實用戶位置的分布，另一方面也使各導(dǎo)航星座全球PDOP監(jiān)測評估的統(tǒng)計結(jié)果存在一定偏差。

為進(jìn)一步提升PDOP監(jiān)測評估的實效性與可靠性，推進(jìn)實時監(jiān)測評估研究工作的開展，本文引入等弧長格網(wǎng)模型GRID_EAL和正二十面體球面格網(wǎng)模型GRID_IB兩種等面積格網(wǎng)模型[11]，應(yīng)用到PDOP的監(jiān)測評估研究中。

1 GRID_EAL模型及GRID_IB模型概述

相較于先前PDOP監(jiān)測評估中所使用的GRID_ELL模型，本文引入的兩種等面積格網(wǎng)模型均是從控制單位格網(wǎng)面積的角度出發(fā)，將地球表面分割成若干個面積近似相等的格網(wǎng)單元。此類格網(wǎng)模型能有效避免由于地球球面效應(yīng)所引起的格網(wǎng)點分布不均勻的問題，使格網(wǎng)點參照真實的區(qū)域面積在全球均勻分布。

1.1 GRID_EAL模型概述及其劃分方法

GRID_EAL模型通過設(shè)置單位格網(wǎng)弧長所對應(yīng)的弧度大小來控制格網(wǎng)模型的疏密程度，并通過確定的弧長大小來確定劃分格網(wǎng)的經(jīng)緯度間隔。其具體劃分步驟如下：

1)選取單位球以模擬真實地球，確定間隔弧度大小d以控制格網(wǎng)模型疏密程度；

2)確定格網(wǎng)模型在緯度上的劃分?jǐn)?shù)Nθ=round(π/d)，近似緯度間隔dθ=π/Nθ，近似經(jīng)度間隔dφ=d2/dθ；

3)選取劃分的任意緯圈θ=π·(i+0.5)/Nθ，i∈[0,Nθ-1]且i∈Z，則該緯圈上的經(jīng)度劃分?jǐn)?shù)Nφ=round(2π·sinθ/dφ)，其上格網(wǎng)點對應(yīng)經(jīng)度φ=2jπ/Nφ，j∈[0,Nφ-1]且j∈Z。

1.2 GRID_IB模型概述及其劃分方法

GRID_IB初始格網(wǎng)點由正二十面體的12個頂點定義(表1)，通過將相鄰點所構(gòu)成的球面三角形進(jìn)一步細(xì)分，可以使格網(wǎng)點進(jìn)一步加密[12]。因此該模型的格網(wǎng)點數(shù)N與細(xì)分次數(shù)k間有如下函數(shù)關(guān)系：N=2+10×4k，且k∈N。其具體劃分步驟如下：

1)定義中心為原點的正二十面體，并對其每個頂點進(jìn)行定義；

2)利用已有頂點構(gòu)建Delaunay三角網(wǎng)；

3)逐一將每個三角形邊長進(jìn)行二等分，其等分點構(gòu)成新的頂點，此過程中每個初始三角形都能被分割成4個新的三角形；

4)剔除重復(fù)頂點，并重復(fù)3)中的二等分操作直至將頂點數(shù)加密至所需數(shù)量；

5)將每個自原點指向頂點的矢量歸一化即可將每個頂點投影至模擬地球的單位球球面上，此過程可確保投影后的任意兩點間弧度相等；

表1 正二十面體初始頂點

2 格網(wǎng)模型差異分析

GRID_ELL模型與兩種等面積格網(wǎng)模型在不同緯度地區(qū)的格網(wǎng)點分布存在明顯差異。相較于GRID_ELL模型，兩種等面積格網(wǎng)模型均可顯著改善高緯度地區(qū)以及極地地區(qū)格網(wǎng)點過密的問題。

2.1 不同格網(wǎng)模型格網(wǎng)點分布情況

為分析3種格網(wǎng)模型之間的差異，選取5°×5°的GRID_ELL模型(共計2 664個格網(wǎng)點)、4°間隔的GRID_EAL模型(共計2 664個格網(wǎng)點)以及進(jìn)行4次細(xì)分后構(gòu)建的GRID_IB模型(共計2 562個格網(wǎng)點)進(jìn)行研究，對3種格網(wǎng)模型格網(wǎng)點在全球范圍內(nèi)的分布規(guī)律進(jìn)行分析和統(tǒng)計。結(jié)果表明，不同緯度地區(qū)格網(wǎng)點密度呈現(xiàn)出明顯的差異，GRID_ELL模型相較于兩種等面積格網(wǎng)模型在高緯度地區(qū)至極區(qū)范圍格網(wǎng)點密度過大(圖1)，而赤道附近的低緯度地區(qū)格網(wǎng)點較稀疏(圖2)，格網(wǎng)整體分布不均勻。

圖1 3種格網(wǎng)模型極地地區(qū)格網(wǎng)點分布Fig.1 Grid points distribution of three grid models in polar regions

圖2 3種格網(wǎng)模型赤道地區(qū)格網(wǎng)點分布Fig.2 Grid points distribution of three grid models in equatorial regions

2.2 不同緯度帶格網(wǎng)點數(shù)對比

為進(jìn)一步分析3類格網(wǎng)模型在不同緯度地區(qū)的格網(wǎng)點數(shù)差異，本文按照低緯度地區(qū)(南北緯0°～30°)、中緯度地區(qū)(南北緯30°～60°)和高緯度地區(qū)(南北緯60°～90°)進(jìn)行區(qū)域劃分，得到各區(qū)域內(nèi)格網(wǎng)點數(shù)統(tǒng)計結(jié)果(圖3)。結(jié)果表明，在高緯度地區(qū)，GRID_ELL模型格網(wǎng)點數(shù)分別約為GRID_EAL模型和GRID_IB模型的2.59倍和3.05倍；在中緯度地區(qū)，GRID_ELL模型格網(wǎng)點數(shù)分別約為GRID_EAL模型和GRID_IB模型的0.96倍和0.90倍；在低緯度地區(qū)，GRID_ELL模型格網(wǎng)點數(shù)分別約為GRID_EAL模型和GRID_IB模型的0.57倍和0.62倍。

圖3 3種格網(wǎng)模型不同緯度地區(qū)格網(wǎng)點數(shù)Fig.3 Grid points volume in different latitude regions among three grid models

對各格網(wǎng)模型不同緯度帶上格網(wǎng)點數(shù)進(jìn)行擬合，得到3種格網(wǎng)模型格網(wǎng)點數(shù)隨緯度變化的相關(guān)函數(shù)曲線(圖4)，圖中各曲線的積分面積與各格網(wǎng)模型格網(wǎng)點總數(shù)成正比。通過平移GRID_ELL模型的藍(lán)色線條可以看出，若GRID_ELL模型要在0°～30°范圍內(nèi)任意緯度帶上實現(xiàn)格網(wǎng)點數(shù)密度與其他兩種格網(wǎng)模型點數(shù)密度相同，則需要大幅度加密格網(wǎng)，提高格網(wǎng)點總數(shù)，而這將進(jìn)一步增加其在高緯度地區(qū)的冗余格網(wǎng)點數(shù)。

圖4 3種格網(wǎng)模型格網(wǎng)點數(shù)隨緯度變化趨勢Fig.4 The trend of grid point volume with latitude among three grid models

3 基于3種格網(wǎng)模型的全球PDOP監(jiān)測評估

在上述實驗的基礎(chǔ)上，利用2020-11-23～11-29共7 d的廣播星歷對基于3種格網(wǎng)模型計算得到的全球PDOP評估結(jié)果及區(qū)域PDOP可用性評估結(jié)果進(jìn)行分析，實驗過程中采用的格網(wǎng)密度同先前實驗一致，采樣間隔為300 s，衛(wèi)星截止高度角為15°。

3.1 全球PDOP

圖5(a)～(c)為3種格網(wǎng)模型利用GPS(共33顆星)得到的全球PDOP評估結(jié)果，(d)～(f)為3種格網(wǎng)模型利用BDS(更新至C59，共45顆星)得到的全球PDOP評估結(jié)果(截止高度角為15°)。由圖可見，3種格網(wǎng)模型的評估結(jié)果在圖像上呈現(xiàn)出一致性，兩種等面積格網(wǎng)模型在南北緯0°～50°范圍內(nèi)格網(wǎng)點更為密集，更好地反映了該區(qū)域由于導(dǎo)航衛(wèi)星星座構(gòu)型所引起的PDOP變化。在南北緯50°～90°范圍內(nèi)，兩種等面積格網(wǎng)模型去除了大量冗余格網(wǎng)點，但由于該范圍內(nèi)相同經(jīng)度間隔所對應(yīng)的實際距離大幅度縮短，因此少量格網(wǎng)點也能較為真實地反映出該區(qū)域的PDOP變化。

圖5 3種格網(wǎng)模型全球PDOPFig.5 Global PDOP of three grid models

3.2 全球PDOP可用性

PDOP可用性計算公式如下[1]：

(1)

式中，i為格網(wǎng)點標(biāo)識；T為采樣間隔；tstart、tend為開始時間段與結(jié)束時間段；PDOPt為t時刻該格網(wǎng)點的PDOP值；fAcc為設(shè)置的PDOP閾值；bool{ }為布爾函數(shù)，當(dāng)滿足判斷條件時取值為1，否則為0。

由于在衛(wèi)星截止高度角為15°的情況下，四系統(tǒng)所計算出的全球PDOP可用性無法明顯反映出各區(qū)域PDOP可用性變化情況，因此本文主要針對GPS和BDS的PDOP可用性作進(jìn)一步分析。當(dāng)閾值為6時，各格網(wǎng)模型計算的PDOP可用性結(jié)果如圖6所示。由圖可見，3種格網(wǎng)模型所計算出的PDOP可用性結(jié)果同樣具有一致性，尤其是BDS，其可用性變化較為明顯的區(qū)域均集中在中低緯度地區(qū)，兩種等面積格網(wǎng)模型均能很好地反映全球PDOP的可用性分布情況。

圖6 3種格網(wǎng)模型計算的全球PDOP可用性結(jié)果Fig.6 Global PDOP availability from three grid models

此外，各系統(tǒng)基于3種格網(wǎng)模型計算出的全球PDOP可用性統(tǒng)計結(jié)果如表2所示(截止高度角為15°, PDOP≤6)，其中GPS與BDS衛(wèi)星數(shù)同先前實驗一致，GLONASS共22顆星，Galileo共24顆星。由表可知，GLONASS的全球PDOP可用性統(tǒng)計結(jié)果在GRID_ELL模型和兩種等面積格網(wǎng)模型之間存在明顯差異，這是其衛(wèi)星構(gòu)型不同所致。GLONASS在高緯度地區(qū)的PDOP值明顯小于低緯度地區(qū)的PDOP值，呈現(xiàn)為帶狀分布。但結(jié)合真實情況下的高緯度地區(qū)面積、實際用戶數(shù)量和可見衛(wèi)星數(shù)變化可知，傳統(tǒng)的GRID_ELL模型給該區(qū)域附加了一個過高的權(quán)重，進(jìn)而提升了GLONASS在全球范圍內(nèi)的PDOP可用性統(tǒng)計值。因此結(jié)合實際情況考慮，兩種等面積格網(wǎng)模型所反映的統(tǒng)計結(jié)果更為真實準(zhǔn)確。

表2 3種格網(wǎng)模型全球PDOP可用性統(tǒng)計

4 等弧長格網(wǎng)模型適用性分析

從上述實驗結(jié)果可以看出，等面積格網(wǎng)模型在與GRID_ELL模型擁有近似相同的格網(wǎng)點總數(shù)情況下可以對全球PDOP及PDOP可用性實現(xiàn)有效、一致甚至更為真實準(zhǔn)確的監(jiān)測評估。在PDOP的監(jiān)測評估過程當(dāng)中，格網(wǎng)模型的最低分辨率會在很大程度上影響監(jiān)測評估結(jié)果的精度。由于兩種等面積格網(wǎng)模型的單位格網(wǎng)邊長近似相等，因此在全球范圍內(nèi)的最低分辨率始終近似為常數(shù)；但GRID_ELL模型會受到投影畸變的影響，其最低分辨率等于其在赤道上2個相鄰格網(wǎng)點之間的距離。在格網(wǎng)點數(shù)量近似相同的情況下，先前實驗中的兩種等面積格網(wǎng)模型的最低分辨率實際上要遠(yuǎn)高于GRID_ELL模型的最低分辨率。因此在PDOP監(jiān)測評估過程中，若使用與GRID_ELL模型最低分辨率相同的等面積格網(wǎng)模型，即維持現(xiàn)有的監(jiān)測評估精度時，其格網(wǎng)點總數(shù)將大幅度減少，這將使PDOP監(jiān)測評估算法效率進(jìn)一步提升。

4.1 運(yùn)算效率優(yōu)化

由于GRID_IB模型最低分辨率的確定與其剖分次數(shù)相關(guān)，無法靈活設(shè)置最低分辨率，不利于實際應(yīng)用，因此本文主要針對GRID_EAL模型作進(jìn)一步研究。表3為不同最低分辨率下GRID_EAL模型和GRID_ELL模型應(yīng)用于BDS全球PDOP監(jiān)測評估算法時的表現(xiàn)。

表3 格網(wǎng)性能差異

由表可見，與目前PDOP監(jiān)測評估研究中常使用的5°×5°的GRID_ELL模型相比，4°、5°、6°、7°間隔的GRID_EAL模型在運(yùn)算效率上分別提升了2.8%、36.3%、55.1%、65.2%，在存儲空間需求上分別優(yōu)化了0.2%、34.1%、52.9%、64.3%。

4.2 可靠性驗證

為確保利用GRID_EAL模型的PDOP監(jiān)測評估優(yōu)化算法能夠?qū)θ蚍秶鷥?nèi)的PDOP劇烈變化或是異常區(qū)域?qū)崿F(xiàn)有效的監(jiān)測與評估，進(jìn)一步針對不同分辨率的GRID_EAL模型評估結(jié)果的準(zhǔn)確性進(jìn)行比較與分析。實驗將1°×1°高密度的GRID_ELL模型全球PDOP評估結(jié)果視為參考值，將4°、5°、6°、7°間隔的GRID_EAL模型全球PDOP評估結(jié)果根據(jù)找尋最小二范數(shù)的格網(wǎng)點數(shù)據(jù)原則，同樣?xùn)鸥窕癁?°×1°的高密度結(jié)果，并與參考值作差，設(shè)定差值小于等于1則將該格網(wǎng)點監(jiān)測評估結(jié)果視為準(zhǔn)確。在此基礎(chǔ)上對四系統(tǒng)24 h內(nèi)的全球PDOP評估結(jié)果準(zhǔn)確性進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如圖7所示(截止高度角為15°，PDOP≤6,ABS≤1)。由圖可見，4°與5°間隔的GRID_EAL模型對四系統(tǒng)的全球PDOP評估結(jié)果準(zhǔn)確性基本都能維持在90%以上，6°與7°間隔的GRID_EAL模型結(jié)果準(zhǔn)確性則在85%以上。對于目前全球PDOP指標(biāo)性能較好的系統(tǒng)(如GPS和BDS)而言，其準(zhǔn)確性也要明顯高于其他系統(tǒng)。

圖7 GRID_EAL模型全球PDOP評估準(zhǔn)確性Fig.7 Global PDOP assessment accuracy rate of GRID_EAL

通過上述實驗可知，5°間隔的GRID_EAL模型能夠在滿足全球PDOP監(jiān)測評估準(zhǔn)確性的同時，在運(yùn)算效率及存儲上帶來36.3%和34.1%的提升與優(yōu)化。

5 結(jié) 語

本文介紹GRID_EAL和GRID_IB兩種等面積格網(wǎng)模型，并對其與GRID_ELL模型之間的差異進(jìn)行分析。將兩種等面積格網(wǎng)模型應(yīng)用到全球PDOP監(jiān)測評估算法研究中，能夠顯著改善GRID_ELL全球格網(wǎng)點分布不均勻給全球PDOP統(tǒng)計結(jié)果帶來的偏差。對于不同格網(wǎng)間隔的GRID_EAL模型應(yīng)用到全球PDOP監(jiān)測評估的適用性進(jìn)行實驗驗證，結(jié)果表明，同目前基于GRID_ELL模型的全球PDOP監(jiān)測評估方法相比，利用5°間隔的GRID_EAL模型能在保持全球PDOP監(jiān)測評估準(zhǔn)確性的同時，在運(yùn)算效率和存儲上帶來36.3%和34.1%的提升與優(yōu)化，這有助于進(jìn)一步推動全球PDOP長周期實時監(jiān)測的開展。

致謝：上海天文臺iGMAS分析中心給予幫助和支持，IGS提供數(shù)據(jù)，在此一并表示感謝。