一種應用于換熱網絡綜合的阻尼優化方法

劉薇薇，崔國民，張璐，肖媛，楊其國，張冠華

（上海理工大學能源與動力工程學院，上海市動力工程多相流動與傳熱重點實驗室，上海 200093）

引 言

換熱網絡通過使用多個換熱設備將工藝物流加熱或冷卻達到目標溫度，實現最小投資費用或最大能量回收，其優化理論的研究對節能減排、降低能源損耗具有實際工程應用意義，為實現“碳達峰”和“碳中和”的目標提供解決方案。但換熱網絡綜合為復雜的混合整數非線性規劃問題，其中以結構為主的整型變量是影響換熱網絡目標函數非凸非線性的主要因素，而換熱單元的布置與結構多樣性對擴大換熱網絡的搜索域起著關鍵作用，因此開發高效的結構優化技術對提升換熱網絡全局優化性能具有重要意義。

自Masso 等[1]提出換熱網絡優化問題以來，眾多學者致力于優化模型和算法的改進以獲得年綜合費用更低的換熱網絡結構。Yee 等[2-3]基于同步優化思想提出了分級超結構模型(SWS)，研究者們[4-6]從換熱器串聯和旁流結構的生成、有分流SWS 模型的拓展以及公用工程靈活布置等提高結構多樣性的角度改進SWS 模型，進一步擴充了求解域；Xiao 等[7]和徐玥等[8]提出的節點非結構模型在結構匹配上更加靈活，隨之將非結構擴展模型應用于有分流換熱網絡，并結合節點配置策略對流股的分支數和分組數進行動態調整，提高了模型的求解效率。常見的啟發式方法有模擬退火算法(SA)[9]、微分進化算法(DE)[10]、粒子群算法(PSO)[11]、遺傳算法(GA)[12]、強制進化隨機游走算法(RWCE)[13]等，因其進化機制簡單、搜索能力強等特點被廣泛應用于換熱網絡問題的求解[14-16]。在此基礎上，研究者們側重對算法的執行方式或者內部結構進行改進，Pav?o 等[17]在SA 的基礎上提出一種新型火箭煙花優化策略，有效提升了算法優化性能；Aguitoni 等[18]將SA 與DE 結合的混合算法可同時兼顧對換熱網絡拓撲結構的優化和連續變量的優化；Thuy 等[19]將DE 與夾點技術相結合，在夾點處進行分流，用DE 確定換熱單元的熱負荷及分流比；王世豪等[20]基于離散PSO 和模擬退火思想提出雙層優化策略，對網絡結構和換熱器面積進行同步優化；陳帥等[21]綜合單層算法和傳統雙層算法的不足，提出抽樣平均近似的改進PSO 算法應用于無分流換熱網絡綜合；Rathjens 等[22]提出基于GA 的結構識別和參數改變的局部優化策略簡化了換熱網絡結構，提升了局部搜索能力；Feyli等[23]提出一種基于GA 和修正的擬線性規劃模型耦合的有分流換熱網絡綜合方法。RWCE算法在分級超結構模型以及節點非結構模型中的應用體現出了其良好的優化性能，其中在算法關鍵優化參數上的改進[24-25]可更好地兼顧整型變量與連續變量的優化；在結構攝動方面加入換熱單元重構策略、結構融合策略等操作[26-28]可有效提升結構進化能力。上述研究對算法的改進雖具有一定效果，但由于算法的貪婪性，在對問題求解時總是選擇接受當前最優解，并未從全局最優上加以考慮，難以避免陷入局部極值，而RWCE 算法中的接受差解機制雖在一定程度上可有效跳出局部極值，但在優化后期接受差解的同時也破壞了具有潛力結構的優化路徑，算法的優化性能仍有待進一步提升。

鑒于此，通過分析換熱網絡固化結構的成因及當前接受差解機制對優化的影響，基于結構延緩的思想提出一種阻尼優化方法應用于有分流節點非結構模型。將延緩概率引入結構繼承機制中，以一定概率不接受當前最優解，延緩固化結構的形成；在此基礎上，進一步提出分階段延緩策略，通過調控在不同優化階段的延緩概率，使得網絡結構進化能力得以提升，以此提高全局搜索能力；最后采用四個不同規模的換熱網絡算例驗證阻尼優化方法的有效性。

1 換熱網絡優化數學模型

1.1 有分流節點非結構模型

采用有分流節點非結構模型（nodes-based nonstructural model with stream splitting, NNM-SS）優化換熱網絡，以節點的形式量化換熱器的位置，換熱匹配的產生不受級數的限制，且節點數及分流數的設置更具靈活性。圖1 表示4SP 算例的NNM-SS 結構示意圖，節點參數包括分支數、分組數以及分支上節點數，冷熱節點間連接表示換熱器，分別在熱、冷流體末端設置冷、熱公用工程輔助換熱使流體末端出口溫度達到目標溫度，用?、?表示。圖中共包含4 個換熱器，Q表示換熱器的換熱量，初始節點參數設為：熱流股分支數nfH=2，分組數ndH=3，分支上節點數mdH=2；冷流股分支數nfC=3，分組數ndC=3，分支上節點數mdC=2。

圖1 有分流節點非結構模型示意圖Fig.1 Structure of nodes-based non-structural model with stream splitting

1.2 目標函數

以最小年綜合費用（total annual cost,TAC）為換熱網絡優化目標，目標函數如式(1)所示，包括運行費用和投資費用，其中前三項為換熱單元的固定投資費用和面積投資費用，后兩項為冷、熱公用工程的運行費用。

式中，FFix為固定投資費用；CA為面積費用系數；Z為換熱單元是否存在的0-1 變量；ε為面積費用指數；CCU、CHU分別為冷公用工程、熱公用工程的費用系數；QCU、QHU分別為冷公用工程、熱公用工程換熱量；Ai,dH、ACU,i、AHU,j分別為換熱器、冷公用工程、熱公用工程的換熱面積；NH、NC分別為熱、冷流體流股數。

1.3 約束條件

約束條件主要包括換熱匹配中冷熱流體的熱平衡約束、換熱單元的進出口溫度約束、公用工程溫度約束以及冷熱分流比約束。

（1）換熱器熱平衡

（2）公用工程熱平衡

（3）流股熱平衡

（4）最小溫差約束

模型中最小傳熱溫差ΔTmin均取值為0℃，以保證換熱面積和換熱量非負。

（5）流股分流比平衡

2 換熱網絡優化的局限性分析

2.1 RWCE算法優化有分流換熱網絡

RWCE 算法在優化過程中所有個體均獨立進化，個體之間沒有相互交流，其接受差解機制的設置可以強制跳出局部最優解，提升全局優化性能。RWCE 算法經過驗證是較為高效的優化算法，將其應用到有分流節點非結構模型中優化換熱網絡，主要優化流程見圖2。

圖2 RWCE算法優化流程Fig.2 Flow chart of RWCE algorithm

其中，r為0～1之間均勻分布的隨機數，δ為接受差解概率，在隨機游走進化過程中對換熱器的換熱量以及冷、熱分流比隨機更新，如式(12)～式(14)所示：

2.2 接受差解機制對優化的影響分析

RWCE算法的接受差解機制是以一定概率接受一部分費用較高的結構，給予較差的結構充分發揮其優化潛力的機會，可避免算法陷入局部極值難以跳出。以15SP 算例分析在不同優化階段在接受差解過程中年綜合費用的變化趨勢，該算例包括8 股熱流和7股冷流，物流數據參見文獻[29]。

算法優化參數設置：ndH=ndC=3，nfH=nfC=2，mdH=mdC=1，δ=0.01，ITmax=1×108。對優化進程進行監測，觀察每股熱流上換熱單元熱負荷變化以及年綜合費用變化趨勢。迭代從30 萬步至8230 萬步最優個體的年綜合費用仍未發生變化，優化始終陷入停滯狀態，因此圖3 僅給出迭代到100 萬步時當前解和歷史最優解的變化曲線。在優化初期費用波動較大，是由于模型初始為空結構，可生成換熱結構的空間充足，換熱單元的生成與游走可引起年綜合費用的大幅度下降；而在達到局部最優后，接受差解可強制結構變異，實現年綜合費用的再次突破。迭代至20 萬步時，接受差解后的費用在短暫的升高后，經過一段時間優化又回到了原有結果，且優化過程中多次出現費用突增現象，是因為接受的差解結構中若存在反向公用工程或者溫度交叉將引起對該結構的懲罰，導致費用劇增且逐漸偏離優化方向。由此說明，一旦網絡結構形成穩定的換熱匹配，即使接受差解也難以形成有效的結構變異，而基于算法自身的優化又難以使當前結構發生變化，導致算法過早陷入停滯狀態且優化結果較差。

圖3 當前解及歷史最優解的費用變化曲線Fig.3 Cost variation of current solution and historical optimal solution

3 阻尼RWCE算法的提出

通過上文的探討分析，接受差解機制具有兩面性，在優化前期可使結構強制跳出局部極值，進而快速達到較優結構；但在優化后期多數被接受的差解會重復優化到原結構，難以形成有效的結構變異。對當前的結構優化機制進行調整，改變算法的執行方式是避免過早形成固化結構的可行方法?；诖?，提出以結構延緩策略為核心的阻尼RWCE 算法，在優化過程中以一定概率不接受好解，延緩結構形成最佳匹配，給予充分的時間使有潛力的結構進行優化。優化過程中的延緩機理如圖4 所示。

圖4 TAC優化過程中的延緩機理Fig.4 Delay mechanism in TAC optimization

以圖4 中曲線代表目標函數的優化過程，曲線A-F代表優化方向，C、E、F代表求解過程中可能存在的局部極值點。從A點開始優化，由于啟發式算法的貪婪接受原則，易陷入局部極值點C，費用難以進一步下降；而接受差解機制以一定概率接受比C點費用高的解，優化方向從A-C變為A-D-E，跳出局部最優，但多次迭代后仍會返回原結構，費用難以進一步下降。

阻尼RWCE 算法的延緩機理：（1）延緩從A點搜索到局部極值C點的優化過程，以一定概率η（延緩概率）不接受優化過程中費用降低的結構，避免優化過早搜索到局部極值；（2）在不滿足延緩條件時，選擇以一定概率δ（接受差解概率）接受A-B過程中的任一結構，實現對更多優化路徑的探索，從而增大可行優化方向；（3）在優化換熱網絡這類具有非凸非線性特點的問題時，在可接受的優化時間內，延緩策略可擴大搜索域有效跳出局部極值獲得更優結構，從而提升全局優化能力。

3.1 結構延緩策略

結構延緩策略(DS1)是指在個體選擇階段改變結構繼承機制，采用概率性接受好解作為下次迭代初始結構，同時采取結構保護機制，若當前結構對應的年綜合費用相比上次迭代有所降低便不接受差解。具體操作為：若個體隨機游走后的結構和上一步迭代的最優結構相比費用降低，則以一定的概率η不接受該結構，否則將游走后的換熱量(Qn,e)it作為下次迭代的初始換熱量，同時將游走后的結構以及分流比傳遞給初始結構；若費用相比沒有降低，則下一步迭代的初始換熱量依然為(Qn,e)it，而且以一定的概率δ接受差解，將(Qn,e)it作為下次迭代的初始換熱量。

3.2 分階段延緩策略

以一定概率不接受好解，使結構中換熱單元匹配不過快達到飽和，延緩穩定結構的形成，采取延緩策略對延緩結構固化具有一定的效果。但是在優化過程中若全程采用相同的延緩概率，可能會使優化方向偏離路徑從而錯失好解。因此，提出分階段延緩策略(DS2)，根據不同優化階段搜索能力的差異，設置不同的延緩概率。在優化前期，設置相對合適的延緩概率，避免因連續變量變化過快形成固化結構；在優化中期，結構逐漸穩定，此時應降低延緩概率；在優化后期，結構已基本穩定難以再次變異，此時不延緩，保護好解使連續變量得到充分優化。具體操作為：

阻尼RWCE 算法的優化流程如圖5 所示，其中分階段延緩策略的延緩概率η按式(16)取值。

圖5 阻尼RWCE算法優化流程Fig.5 Optimization process of DS-RWCE

3.3 延緩概率的取值及影響效果分析

采取延緩策略可有效防止優化陷入局部極值點，使換熱匹配不過快達到穩定狀態，以獲得更優質的結構，其中延緩概率表示對好解的延緩程度，其取值大小對結構的優化有一定的影響。

圖6(a)為在不同延緩概率下全程采用相同的延緩效果時年綜合費用下降曲線，以延緩概率取0、0.2、0.4、0.6、0.8 為例說明不同的延緩力度對優化進程的影響。延緩概率為0，即采用基礎RWCE 算法進行優化，迭代至2×108步時算法已基本停滯。在優化前期(0, 1.6×108)，延緩概率取0.2、0.4、0.6 時優化結果相比不延緩的結果偏低，且延緩概率取0.4優化結果下降趨勢更為明顯；優化中期延緩概率取0.2時結構優化性能進一步提升，取得了更低的年綜合費用。延緩概率過大時，接受的好解較少，相應地接受差解較多，對結構的擾動較大，不利于結構優化；而延緩概率過小時，對易形成固化結構的延緩力度較弱，優化后期的結構仍會過早達到換熱飽和，費用難以下降。

圖6 不同延緩概率下的費用變化曲線Fig.6 Cost variation curves under different delay probabilities

圖6(b)為在不同優化階段設置不同的延緩概率其TAC 的變化，通過圖6(a)不同延緩概率在不同優化階段優化性能的對比，分階段延緩概率在優化前期分別取0.2、0.4、0.6；在優化中期取0.2；在優化后期以0.2 的延緩力度或者不延緩進行優化，對應的結果如表1所示。由圖可知分階段延緩策略相比全程延緩費用均有所降低，通過調控在不同優化時期的延緩概率，可以促進結構進一步優化從而獲得更低的年綜合費用。其中情況4 對應的結果最低，結果為1495453 USD/a，情況3 和情況4 在第一階段和第二階段延緩概率取值相同，情況3 在第三階段依然以0.2的概率進行延緩；而情況4在第三階段延緩概率取為0即不進行延緩，對應的年綜合費用更低。因此，在優化后期結構已基本穩定難以再突破結構變異時，不進行延緩能夠保護好解，使連續變量得到充分優化，得到更優解。

表1 分階段延緩策略在不同優化階段延緩概率的取值Table 1 Values of delay probability of phased delay strategy in different optimization stages

4 策略有效性分析

4.1 算例1

算例1 為9SP 算例，包括4 條熱流股和5 條冷流股，換熱器費用為2000+70AUSD/a，熱公用工程單位費用為60 USD/(kW·a)，冷公用工程單位費用為6 USD/(kW·a)。該算例最早由Linnhoff 等[30]提出，后續許多學者使用此算例進行換熱網絡模型及優化算法的驗證，Fieg 等[31]將多種優化策略加入遺傳算法，得到了優化結果為2922298 USD/a 的有分流結構；霍兆義等[32]將有分流并聯結構和無分流串聯結構引入換熱網絡優化模型，并采用遺傳算法和粒子群算法結合的雙層優化算法對模型求解，得到的優化結果為2922585 USD/a。孫濤等[25]提出大步長激勵促進結構進化，進一步提升了網絡結構的進化能力，獲得了2920246 USD/a 的優化結果。鮑中凱等[33]允許公用工程布置在結構內部的各流股分支上，從而得到了2906286 USD/a的最優結果。

本文基于有分流節點非結構模型采用RWCE算法對換熱網絡進行優化，初始節點參數設置：ndH=ndC=6，nfH=nfC=2，mdH=mdC=1，延緩概率的取值如表2 所示。優化到2000 萬步時算法陷入停滯，初步優化得到的結果為2898422 USD/a(圖7)。將延緩策略應用于RWCE 算法，采用全程延緩策略（DS1）得到了TAC 為2893376 USD/a 的有分流換熱網絡結構；采用分階段延緩策略（DS2）得到的最優結構如圖8 所示，優化結果為2892210 USD/a。相比基礎RWCE 算法費用降低了6212 USD/a，是由于采用延緩策略可以多次跳出局部最優解，延遲固化結構的生成，增強了結構的多樣性。與文獻中最優結果對比如表3 所示，可看出采用延緩策略的優化結果均低于已有文獻結果。其中圖8 的結構和文獻[33]相比年綜合費用降低了14076 USD/a，雖然圖8 換熱單元數有所增加且在多條流股上生成了分流結構，提高了換熱器的面積費用和投資費用，但是增加了換熱器，H4 流股和C5 流股上的公用工程需求量相應減少；此外在C1流股上存在內部熱公用工程與一條分流進行換熱，提升了該流股上的換熱潛能，降低了公用工程的面積費用，獲得了費用更低的網絡結構。

表3 9SP算例優化結果對比Table 3 Comparison of results for 9SP

圖7 9SP算例RWCE算法優化結果（TAC=2898422 USD/a）Fig.7 Optimization results of RWCE algorithm in 9SP(TAC=2898422 USD/a)

圖8 分階段延緩策略優化9SP最優結果（TAC=2892210 USD/a）Fig.8 9SP optimal results of phased delay strategy optimization（TAC=2892210 USD/a）

表2 9SP在不同優化階段延緩概率的取值Table 2 Value of delay probability（η）of 9SP in different optimization stages

4.2 算例2

算例2為20SP算例，由10條冷流股和10條熱流股組成，換熱器費用為8000+800A0.8USD/a，熱公用工程費用為70 USD/(kW·a)，冷公用工程費用為10 USD/(kW·a)，該算例當前最優結果是由Rathjens等[22]將連續空間局部優化策略應用到遺傳算法中得到的1715088 USD/a。初始節點參數設置為ndH=ndC=6，nfH=nfC=2，mdH=mdC=1，采用RWCE 算法得到如圖9 的網絡結構，年綜合費用為1721621 USD/a；將延緩策略應用到RWCE 算法，各策略的延緩參數設置見表4，采用分階段延緩策略最終優化得到的結構費用為1714524 USD/a，最優結構如圖10 所示，與文獻中最優結果對比如表5所示。

圖9 20SP算例RWCE算法優化結果(TAC=1721621 USD/a)Fig.9 Optimization results of RWCE algorithm in 20SP（TAC=1721621 USD/a）

表5 20SP算例優化結果對比Table 5 Comparison of results for 20SP

圖10 分階段延緩策略優化20SP最優結果(TAC=1714524 USD/a)Fig.10 20SP optimal results of phased delay strategy optimization（TAC=1714524 USD/a)

表4 20SP在不同優化階段延緩概率的取值Table 4 Value of delay probability（η）of 20SP in different optimization stages

從結構的對比可發現，加入延緩策略優化后的換熱器數量為12 個，其中在H1 流股上生成了分流結構，使得該流股上的匹配方式發生了變化；在C7流股上生成了分流結構，促使與其連接的熱流股上的熱負荷發生了變化，從而消去了該流股上的熱公用工程；H8 上的分流結構被消去了，使換熱更為充分，由于換熱單元間的耦合關系，C1 流股上的公用工程也被消掉。此外，在延緩策略對結構優化的促進作用下，多個換熱器的連接方式發生了變化，網絡中分流結構的位置也發生了變化，推動了網絡中整型變量的變化，實現了有效跳出局部極值的目的，從而提高了算法的全局搜索能力，獲得了更優質的結構。

4.3 算例3

基于上述研究與分析，算例3 采用16SP 算例驗證策略的有效性，其中包含6條熱流股、10條冷流股。該算例應用廣泛，Huo 等[34]結合GA 和PSO 算法優化換熱網絡得到了7361190 USD/a的有分流優化結果；Rathjens 等[22]采用改進的遺傳算法得到了6657080 USD/a的優化結果，為當前文獻最優。該算例的特點是H3、H4 和H5 流股受限于進出口溫度難以與冷流體形成匹配，僅通過冷公用工程冷卻。而H2流股具有較高的溫差，更易形成換熱匹配。應用分階段延緩策略優化換熱網絡，延緩概率在不同優化階段分別取0.4、0.15、0，得到的優化結果為6651937USD/a，最優結構如圖11所示，優化結果與文獻中最優結果對比如表6所示，相比文獻[22]下降了5143 USD/a，再次驗證了阻尼優化方法的有效性。

表6 16SP算例優化結果對比Table 6 Comparison of results for 16SP

圖11 分階段延緩策略優化16SP最優結果（TAC=6651937 USD/a）Fig.11 16SP optimal results of phased delay strategy optimization（TAC=6651937 USD/a）

4.4 算例4

為進一步論證阻尼方法在優化換熱網絡問題時的普適性，算例4 采用39SP 算例驗證改進策略在優化大規模網絡問題上的性能。該算例包含22 條冷流股和17 條熱流股，冷、熱流股間可形成換熱匹配的數量更多，網絡結構的復雜性也導致在求解域中存在較多局部極值點。Zhang 等[36]提出將溫差均勻性因子的概念引入換熱網絡，用改進的Powell 粒子群優化算法優化得到的結果為1939149 USD/a；Pav?o 等[17]在SA 算法基礎上提出的火箭煙花算法得到了1900614 USD/a 的優化結果。在不同優化階段延緩概率分別取0.4、0.15、0，采用分階段延緩方法得到的優化結果為1877898 USD/a，最優結構如圖12所示，與文獻[17]中最優結果對比TAC降低了22716USD/a，且得到了最少的換熱單元數目，與文獻中原始最優結果對比如表7所示。

表7 39SP算例優化結果對比Table 7 Comparison of results for 39SP

圖12 分階段延緩策略優化39SP最優結果（TAC=1877898 USD/a）Fig.12 39SP optimal results of phased delay strategy optimization(TAC=1877898 USD/a)

5 結 論

（1）為解決RWCE 算法優化有分流換熱網絡較早形成固化結構的問題，提出阻尼RWCE 算法，基于延緩形成固化結構的思想提出了兩種延緩方式，首先是使用相同延緩概率的全程延緩策略，在此基礎上進一步提出了不同優化階段延緩概率不同的分階段延緩策略，通過調控在不同優化時期的延緩概率，可促進結構進一步優化從而獲得更低的年綜合費用。

（2）將延緩策略應用到RWCE 算法時，延緩概率表示接受好解的程度，其取值大小影響改進算法的優化性能，研究分析加入延緩策略在足夠的優化時間內對固化結構的形成具有一定的延緩效果，并且能取得更低的優化結果。針對分階段延緩策略，通過調控在不同優化時期的延緩概率，促進結構變異從而獲得更低的年綜合費用。

（3）采用9SP、20SP、16SP、39SP 算例驗證延緩策 略，分 別 得 到2892210 USD/a、1714524 USD/a、6651937 USD/a、1877898 USD/a 的優化結果，均低于已有文獻結果，表明阻尼RWCE 算法在足夠的優化時間內對固化結構的形成具有一定的延緩效果，驗證了本方法的可靠性。

符 號 說 明