低差分模式群時延少模光纖的變分法分析及優化*

王健 吳重慶

(北京交通大學,發光與光信息技術教育部重點實驗室,光信息科學與技術研究所,北京 100044)

基于少模光纖的模分復用技術可使傳輸容量增加數倍,是目前光纖通信系統的研究熱點.當復用模式數量較多時,模式之間的串擾可在接收端采用多輸入多輸出數字信號處理算法解決.差分模式群時延(DMGD,τDMGD)越大,算法復雜度越高,為了降低接收機的復雜度需要使用低DMGD 的少模光纖.本文提出了使用變分法分析任意芯層折射率高于包層的少模光纖,推導出了這類光纖中基模的模斑尺寸、各個模式歸一化傳播常數、相對于基模的DMGD 的解析表達式,以及它們與歸一化頻率和光纖制造參數的關系.在此基礎上,以梯度型少模光纖為研究對象,優化了光纖參數,得到能夠傳輸前6 個LP 模,在C 和L 波段|τDMGD|<15 ps/km 的少模光纖的優化參數為:最大芯層折射率與包層折射率之差n1– n2 =0.01,纖芯半徑a=14 μm,折射率分布指數α=1.975.最后討論了光纖制造誤差對DMGD 的影響.

1 引言

空分復用(spatial-division multiplexing,SDM)使單纖傳輸速率從太(T)比特級向拍(P)比特級躍進,已成為通信研究的熱點.空分復用有模分復用(mode-division multiplexing,MDM)和多芯光纖(multi-core fiber,MCF)傳輸兩個關鍵技術[1],因此,基于少模光纖(few-mode fiber,FMF)的MDM 系統也受到了極大的關注[2?7].

MDM 系統在輸入端可用一個多模式輸入的矢量Pin=[p1,p2,···,pn]T描述,式中pi表示第i個模式的相對強度;在輸出端也可以用一個多模式輸出 的矢量Pout=描述,因此MDM系統可視為一個多輸入多輸出(multi-input multioutput,MIMO)的系統,可用n階方陣M(稱為傳輸矩陣)表示輸出和輸入之間的關系,即Pout=MPin.

當模間耦合較弱時,傳輸矩陣M可視為一個對角矩陣,不同模式之間的串擾能夠忽略,可以在接收端分別接收,接收機比較簡單[8,9].最初的MDM 系統就采用了弱耦合的階躍型折射率分布的FMF[4],它的每個簡并模式群作為一個傳輸通道.然而,弱耦合形式FMF 中可用模式較少,盡管研究人員通過改變光纖結構,設計了各種弱耦合光纖[5?7],但因其結構復雜,制作困難,與其他光纖連接時損耗較大等缺點,較少獲得應用.

為了進一步增加復用模式的數量,通常采用多層階躍折射率分布[3,10]和漸變折射率分布[11?13]的光纖.然而這時,不可避免遇到模間耦合問題,傳輸矩陣M不再是一個對角矩陣,信道之間有明顯的串擾.為了消除串擾,在接收端采用了多輸入多輸出數字信號處理的算法解決.然而,由于每個模式的群時延(或群速度)不相同,導致信號到達接收端時,不僅互相串擾,而且在時域上互相分開(走離),這導致信號處理算法復雜,因此減小模式間的群時延差,即差分模式群時延(differential mode group delay,DMGD)是降低接收機算法復雜程度的一個重要方法,所以需要優化光纖參數,獲得一種DMGD 最小的光纖[13?16].

在優化MDM 系統所用的FMF 時,不僅需要考慮DMGD 盡可能小,而且為了減小FMF 的彎曲損耗,常采用帶凹槽的漸變折射率分布[17?23].為了同時滿足低DMGD 和減小微彎損耗的要求,研究者提出了許多優化結構.對這些優化結構的分析,大多數都采用數值分析的有限元法[6,7,17,21,24?26].數值方法可以得到具體的結果,但物理意義不如解析法清晰,不能反映光纖的各個參數與DMGD 的確定關系.為此,本文提出使用變分法分析任意芯層折射率高于包層的FMF[27,28],推導出一般結構光纖的歸一化傳播常數的表達式,以及DMGD 與歸一化傳播常數、歸一化頻率等參數的關系,并應用于梯度型折射率光纖,得到具有低DMGD 的梯度型的FMF.考慮到DMGD 對折射率分布敏感,制作過程中的誤差會使折射率分布偏離優化值,從而使實際FMFs 的DMGD 明顯增大,最后討論光纖制作過程中的誤差對DMGD 的影響.

2 理論

2.1 模式場的場分布

數學上,泛函是以函數為自變量,以數值為因變量的一種集合對應關系.變分法是通過使泛函取極值,而得到自變量函數的方法.具體到光波導分析中,自變量函數就是模式場的分布函數,而因變量數值就是傳播常數,它們之間構成一種泛函,泛函的具體表達式就是傳播常數的積分表達式.因此,求這個泛函的極值,即可得到模式場的場分布,及相應的傳播常數.在已知泛函表達式的基礎上,自變量采用什么函數形式,是求泛函極值的關鍵.常用的方法是采用一個正交函數族的函數,在這里可以是貝塞爾函數、拉蓋爾-高斯函數等.根據文獻[27,28],對于任意一種芯層折射率高于包層的光纖,只要滿足弱導條件,其LPlp模的模式場elp(r,θ)都可以用拉蓋爾-高斯函數的形式表示,即

式中s是基模的模斑尺寸,不同結構的光纖,差別僅在于s的不同,因此得到s即可得到此種光纖的模式場;x=(r/s)2;為拉蓋爾多項式,

所以LPlp模的模式場又可以寫為

式中Elp(x)是模式場隨r變化的部分,可寫為

另外,可以把(3)式中模式場elp(r,θ)隨θ的變化看成兩個簡并模式場的疊加,兩者分別隨cos(lθ)和 sin(lθ)變化,即:

2.2 歸一化傳播常數的計算

根據模式場的亥姆霍茲方程,LPlp模傳播常數βlp的積分表達式(泛函)可寫為[27,28]

式中,k為真空中的波數,n(r) 為光纖的折射率分布.利用關系式x=(r/s)2,(7)式可進一步寫為

對于基模LP01,(8)式可簡化為

把光纖的折射率分布n(x) 代入(9)式,并對其積分,可得到的表達式.這樣,(9)式已經將泛函(7)式化簡為參數s的單一函數,讓取極值,即令=0,可得到基模的模斑尺寸s.把求出的s代入(4)式可以得到一個具體FMF 高階LPlp模的Elp(x),再利用(8)式,又可以求出相應的,最后得到這種光纖LP 模歸一化傳播常數blp為

式中n1為芯層最大的折射率,通常n1=n(0);n2為包層的折射率.

2.3 模式的群時延和差分群時延

根據(10)式,LPlp的傳播常數還可寫為

其中 2Δ=.根據LPlp模單位長度上的群時延為

得群時延的表達式為

式中V=為光纖的歸一化頻率,a為纖芯的半徑.

如果定義差分模式群時延DMGD 是高階模與基模的群時延之差,它描述了光纖的模間色散特性,利用(13)式,推導出DMGD 為

從(14)式可以看出:少模光纖的DMGD 由兩項組成,一項是不考慮相對折射率差Δ隨波長的變化、僅僅因為傳播常數隨歸一化頻率的變化而引起,而另一項則是由相對折射率差?Δ/?λ隨波長的變化所引起.對于階躍光纖,后者的影響較小,故可以近似認為

(15)式表明,減小 d[(blp?b01)V]/dV和相對折射率差Δ,有利于減小階躍光纖的DMGD.

計算一般FMFs 由DMGD 引起的模間色散時,除了考慮blp隨波長的變化外,還要考慮Δ隨波長λ的變化規律.對于石英材料,Sellmeier 公式給出其折射率n與波長的關系為[27]

式中A1=0.6961663,A2=0.4079426,A3=0.8974794,B1=0.068403,B2=0.1162414,B3=9.896161.

3 梯度折射率少模光纖

3.1 基模模斑尺寸和歸一化傳播常數

梯度折射率光纖是一種廣泛使用的光纖,其折射率分布的表達式為

其中K為服務器和電子鎖之間的共享密鑰，C為移動因子，TOTP算法以當前時間戳除以時間窗口（默認60s）作為移動因子，Truncate為截斷函數，digit為指定密碼長度（默認6位）。

式中α是確定折射率變化情況的指數.對于梯度折射率光纖,首要工作是計算一般梯度折射率光纖的模斑尺寸.利用x=(r/s)2,(17)式可進一步表示為

把(18)式代入(9)式可計算出:

式中A=.(20)式是梯度型光纖模斑尺寸的一般表達式.當α=2 時,梯度折射率光纖成為平方律光纖,此時A=1,s=.圖1 表示α分別為1.5,2.0 和2.5 時,模斑尺寸與纖芯半徑之比s/a隨V的變化.從圖1 可以看出:s隨α的增大而增大,而隨V的增大而減小.在本文討論的α和V值范圍內,模斑尺寸僅為纖芯半徑的1/3 左右.

圖1 指數 α 不同時,梯度折射率光纖模斑尺寸與纖芯半徑之比 s/a 隨歸一化頻率V 的變化Fig.1.Ratio of the mode size of the graded fiber to the core radius s/a as a function of normalized frequency V when the index α is different.

其次,需要分別計算各個模式的傳播常數,把(20)式代入(19)式得

再把(21)式代入(10)式得

進一步,把(20)式代入(4)式得到高階LP 模的場分布Elp(x),再利用(8)式和(10)式,得到其他LP 模的歸一化傳播常數blp的表達式.前6 個LP 模blp的表達式分別為

從blp的表達式可見,對于給定的梯度光纖的冪指數α,blp是歸一化頻率V的函數.當α分別為1.5,2.0 和2.5 時,blp隨V的變化,分別如圖2(a)—圖2(c)所示.注意,對α=2 的平方律光纖,blp表達式變得非常簡單,b01=1?2/V,b11=1?4/V,b02=b21=1?6/V,b12=b31=1?8/V,所以平方律光纖LP02和LP21模、LP12和LP31模對應的blp-V曲線分別重合,如圖2(b)所示.為了驗證變分法分析少模光纖的正確性,使用有限元法對圖2(b)中同樣參數的光纖進行了數值仿真,計算出的blp與圖2(b)中結果的一致性非常好,說明變分法分析梯度型折射率光纖是正確和精確的.此外,在已知光纖參數情況下,由前6 個LP 模的歸一化傳播常數blp的表達式可直接計算出blp,比數值方法要簡便得多.比較圖2(a)、圖2(b)和圖2(c)可見,α變小時,b變小,截止時的V變大.

圖2 指數α 不同時,梯度折射率光纖歸一化傳播常數blp隨歸一化頻率V 的變化 (a) α=1.5;(b) α =2.0;(c) α=2.5Fig.2.Normalized propagation constant blp of graded index fiber as a function of normalized frequency V when the index α is different:(a) α=1.5;(b) α=2.0;(c) α=2.5.

3.2 低DMGD 梯度折射率光纖的參數優化

對于梯度折射率光纖,根據(14)式和前6 個LP 模的blp表達式,DMGD 是波長λ,折射率n1,n2,纖芯的半徑a和描述梯度變化的指數α的函數.因此優化低DMGD 的光纖,實際上就是選擇合理選擇這些參數的值,使DMGD 盡量小.

應該說明的是:參數λ,n1,n2和a并不是完全獨立的.光纖包層通常由石英材料制作,從(16)式可知,其折射率是λ的函數,λ確定了,包層折射率n2也就確定了,所以在進行優化時,主要是確定n1?n2或n1的值,但n1?n2又與a有關,原因如下.

歸一化頻率V=的大小決定了光纖中存在的模式數量,這一點可以從圖2 看出,因此在優化時,首先需要確定要使用的LP 模的數量,然后確定V值.本文選擇前6 個LP 模LP01,LP11,LP21,LP02,LP31和LP12作為傳輸模式,就需要考慮更高階的模式LP03,LP22,LP41及其以上的模式截止.考慮到α=2 時,模式LP31和LP12截止時的V值為8,見圖2(b),模式LP03,LP22和LP41截止時的V值為10,另外根據文獻[3]中給出的結果:DMGD 很小時,α的值在2 附近,應選取光纖的V值大于8 小于10.給出V值范圍后,還要考慮以下兩個因素,1)V值較小時模式LP31和LP12彎曲損耗變大,這就要求V值遠離LP31和LP12的截止值8;2)為了充分保證高階模LP03,LP22和LP41截止,V值應比10 稍小一些.綜合以上兩個因素后,并考慮到n1?n2和a的實際取值范圍,這里取V=9.66 .在V確定的條件下,對于某一波長的入射光,n1?n2和a的關系是確定的,因此優化參數時,a和n1?n2中只取其中一個即可,這里取a.

這樣能夠獨立選擇的優化參數是λ,a和α.設入射光的波長λ=1.55 μm,將前6 個LP 模的blp代入(14)式,并利用(16)式,計算LP11,LP21,LP02,LP31和LP12的DMGD 隨α和a的變化,得到LP11的DMGD 曲線如圖3 所示.其他模式的曲線也類似,只是DMGD 值大一些,為簡便不再繪制.從圖3 可以看出:DMGD 對α的變化非常敏感,當α=1.975 時,DMGD 最小;相比之下,DMGD 隨a的變大而緩慢變小,a越大DMGD 的變化越緩慢.為了便于比較,給出了α為最優數值,即α=1.975 時,不同LP 模相對于基模的DMGD隨a的變化,如圖4 所示.從圖4 可以看出:LP11的DMGD 最小,LP21和LP02的DMGD 值基本相等,曲線重合,處于中間位置,LP31和LP12的DMGD 值也基本相等,曲線也重合,處于最大位置.此外,當a>15 μm 時,6 個LP 模的DMGD都小于2 ps/km.應該指出:使LP11模的DMGD等于零時的α作為最優值更為理想,但由于α制造誤差較大(見后面的討論),這種對α更精細的調整意義不大.

圖3 LP11 模的DMGD 隨α 和a 的變化Fig.3.DMGD of LP11 mode as a function of α and a..

圖4 λ=1.55 μm,α=1.975 時DMGD 隨a 的變化Fig.4.DMGD as a function of a when λ=1.55 μm,α=1.975.

在優化時,還要計算DMGD 隨波長的變化.圖5 是a=14 μm,n1?n2=0.01 ,α=1.975 時,DMGD 隨波長的變化.在C+L 波段(1.530—1.625 μm),V的變化范圍為9.77—9.20,滿足僅傳輸前6 個LP 模的條件.從圖5 可以看出:LP11的|τDMGD|<5 ps/km,LP21和 LP02的|τDMGD|<10 ps/km,LP31和LP12的|τDMGD|<15 ps/km,這樣低的DMGD 非常理想.

圖5 DMGD 隨波長的變化Fig.5.DMGD as a function of wavelength.

1)α值相對獨立,最容易確定,正如上面所討論的,取α=1.975 .2)在V不變情況下,纖芯半徑a越大,n1?n2越小,LP 模對彎曲越敏感,從這個角度看應讓a較小,n1?n2較大.但a變小時模有效面積又變小,為了使基模的Aeff>100 μm2,a應該大于12.5 μm,于是取a=14 μm.按照V=9.66,入射光波長λ=1.55 μm,最后確定n1?n2=0.01 .

最后討論光纖制造誤差對DMGD 的影響.根據文獻[4]給出的光纖制造時纖芯折射率n1、半徑a和α值的三倍標準差 3σ(σ表示標準差)分別為5×10?4,0.5 μm 和0.02,可計算出入射光波長λ=1.55 μm,參數值n1?n2=0.01 ,a=14 μm,α=1.975時,制造誤差偏離上述3 個參數值分別為±σ,±2σ和±3σ情況下,LP31和LP12的DMGD的變化,這兩個模式是6 個模式中DMGD 最大的,對制造誤差也是最敏感的,具體計算結果如圖6 所示.由于纖芯折射率和半徑制造誤差引起DMGD的變化較小,而α誤差引起的變化較大,為了能清晰地看出光纖各參量誤差對DMGD 的影響,圖中繪制了兩個y軸,分別表示折射率和纖芯半徑誤差,以及α誤差引起的DMGD 變化.從圖6 可以看出,DMGD 對α變化非常敏感,制造誤差會使實際FMFs 的DMGD 明顯增大,為此將兩個具有相反DMGD 的FMF 相連接,通過選擇合適的延時、延時斜率和光纖長度,可以構造出實際DMGD 較小的光纖補償鏈路.

圖6 DMGD 隨折射率、芯區半徑和α 值制造誤差的變化Fig.6.DMGD as a function of manufacturing errors of refractive index,core radius and α value.

4 結論

提出了使用變分法分析任意芯層折射率高于包層的FMF 傳輸特性的方法,包括模式場分布、傳播常數和DMGD.以梯度折射率光纖為研究對象,推導出了不同冪次梯度型光纖的基模模斑尺寸和歸一化傳播常數的解析表達式,分析了DMGD隨光纖參數的變化規律,說明了光纖參數的優化方法.得到了能夠傳輸前6 個LP 模的FMF 在C 和L 波段的優化參數:n1?n2=0.01,a=14 μm,α=1.975.最后討論了光纖制造誤差對DMGD 的影響,證實了α值對DMGD 的影響最大,并指出可以將兩個具有相反DMGD 的實際FMF 連接作為補償鏈路,部分抵消由于α制造誤差產生的高DMGD.