IBDP與我國高中數學課程比較研究

張萍 曾素樵

摘要：教材在培養學生的創新能力方面扮演著重要的角色。以蘇教版高中數學新教材和IBDP Mathematics AA HL教材為載體，通過課程標準、課程結構、教材編排、教學設計等方面的比較，初步探索了中外高中數學教材在拔尖創新人才培養方面的異同。 中外高中數學教材盡管在部分章節的內容順序和難度要求上存在差異，但均能著眼未來，強調創新，并且都精心設置了豐富的數學素材，以促進拔尖創新人才的探究實踐活動，從而發展其創新思維能力。

關鍵詞：IBDP;高中數學;課程比較;拔尖創新人才

本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃2020年中小學教師發展專項立項課題“以‘人人名師’為目標構建教師發展共同體的實踐研究”（編號：Jc/2020/05）的階段性研究成果。“拔尖創新人才”是一個具有相對意義的概念，在不同國家、不同地區、不同行業、不同時期有不同的內涵與外延，表現出不同的特征。德國慕尼黑大學教授海勒（Kurt A.Heller）指出：“拔尖創新人才就是在某些學科領域有突出的表現，可以綜合使用有創意的和創新的方式來解決復雜的問題，所取得的成績能夠被公認且有一定國際競爭力的人才。”江蘇大學教授陳權認為：“拔尖創新人才是指具備完善且獨特的人格個性、強烈的事業心和社會責任感，且具有豐富的科學素養和專業知識、超凡的創新精神和創新能力，能夠引領和帶動某一專業領域創造性地發展，并能為國家和社會發展作出重大貢獻的杰出人才。”這些表述都將“拔尖創新人才”的內涵引向社會貢獻。

學術界關于拔尖創新人才的研究也體現了一些共同的要素，比如良好的個性品質、合理的知識結構、完善的能力結構、堅韌的創新意志、超前的創新思維等。考慮到基礎教育階段特定的研究對象，我們將“拔尖創新人才”定義為：具有合理的知識結構、較強的創新能力和實踐能力及良好的非智力因素的資質優異的中學生。對拔尖創新人才的培養，即對資質優異的學生進行的適合其個性及能力的教育。

本文比較IBDP與我國高中數學課程在課程標準、課程結構、教材編排、教學設計等方面的異同，重點關注拔尖創新人才的培養。

一、數學課程標準的比較

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》在基本理念部分指出：“提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發學習數學的興趣，培養良好的學習習慣，促進學生實踐能力和創新意識的發展。”該標準還重點指出我國高中數學課程目標之一是幫助學生樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神，不斷提高實踐能力和創新意識。

IBDP數學分析和方法的高水平課程大綱指出，數學和技術于數據化時代的多個領域中扮演著越來越重要的角色，因此，課程強調應用的數學專題或者數學建模。為了幫助學生打下扎實的基礎，課程還包括傳統的大學先修的數學內容，比如微積分和概率。課程還強調了技術的使用，讓學生探索和建立數學模型。由此可見，IBDP數學課程強調在真實的問題情境中解決真實的問題，強調現代技術對學生的實踐能力和創新意識的培養。

二、數學課程結構的比較

為了讓拔尖創新人才有發展數學興趣、展示數學才能的機會，蘇教版高中數學新教材（根據《普通高中數學課程標準（2017年版）》編寫）提供了選擇性必修課程，主要包括四個主題，即函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動。其內容在難度和學業要求上，比必修課程有很大的提升。比如，數學建模與探究活動，可以擬訂新的課題，也可以在必修課程研究課題的基礎上繼續深入研究，但需要說明與必修課程中研究的差異，深入研究的新思路、新方法和得到的新結果。

學校根據學生的情況，可以設置選修課程，分為A、B、C、D、E五類（詳見表1）。

這些課程的設置有利于加速拔尖創新人才的培養進程。比如，數學建模與探究活動，要求學生經歷完整的選題、開題、做題、結題環節，研究報告提倡采用專題作業、測量報告、算法程序、制作實物或研究論文等多種形式，為學生今后形成創新成果打好基礎。選修課程尤為注重各類拔尖創新人才的培養，可以讓學生加深對自己的了解，更快地進入自身的優勢領域學習。比如，大學數學先修課程，可以縮短有數學才能的學生基礎課程的學習時間，讓他們盡快進入更前沿的領域學習。

IBDP數學課程分為兩個方向：AA（Analysis and Approaches，即分析和方法）和AI（Application and Interpretation，即應用和闡釋）。每個方向都分HL（Higher Level，高水平）和SL（Standard Level，標準水平）兩個水平，HL包含SL的所有內容。AA方向偏向于純數學，注重邏輯和理論基礎及證明;AI方向偏向于應用，注重數學與實際世界的聯系、用數學解決實際問題的能力。

要特別提及，課程設置了一個“工具欄”和數學探索性論文的寫作，教學課時為30小時，強調問題解決和數學模型能力，要求寫一篇數學領域的探索性小論文。

從上述課程的設置可以看出，IBDP數學課程注重對不同層次、不同特長的學生的培養，讓每個學生都能得到長足發展。對于拔尖創新人才的培養，每個方向的高水平都涵蓋了很多探索問題、實際問題以及理論問題;尤其是小論文的寫作，從選題到成文全部由學生在教師的指導下完成，旨在全面培養學生分析問題、解決問題的能力。

三、數學教材編排的比較

蘇教版高中數學新教材在每一章后面都設置了“問題與探究”（或“應用與建模”）和“閱讀”兩部分內容。比如，“問題與探究”（或“應用與建模”）包含“集合運算的運算律”“基本不等式的推廣”“鋼琴與指數曲線”“正弦函數與余弦函數的疊加”“復數的開方”“擬柱體體積公式”“平面方程”等，“閱讀”包含“有限集與無限集”“有趣的悖論”“歐拉”“向量的向量積”“楊輝三角”“高斯與概率統計”等。各章節的習題部分也設置了難度相對較高的“探究拓展”習題。這樣的設計，一方面，在知識深度上為拔尖創新人才的培養提供了素材;另一方面，通過數學史尤其是數學家的鉆研精神的滲透，在形成良好的個性品質方面促進了拔尖創新人才的培養。

蘇教版高中數學新教材還在每一冊的最后設置了“數學建模與數學探究”專題，包含“案例分析”和“課題研究”兩個部分。與以往相比，新教材增加了數學建模內容的比例，體現了培養學科核心素養的新課標理念。數學建模是指對現實問題進行抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題;主要包含發現和提出問題、建立和求解模型、檢驗和完善模型、分析和解決問題等環節，是數學應用的重要形式。數學建模素養蘊含了拔尖創新人才應該具備的合作交流、實踐探索和創新等綜合能力。數學建模活動的開展，能讓學生運用數學建模的一般方法和相關知識，創造性地建立數學模型、解決問題，是培養拔尖創新人才的一種良好途徑。

IBDP Mathematics AA HL教材IBDP Mathematics AA HL教材指Haese Mathematics出版社根據IBO（國際文憑組織）數學分析和方法高水平課程大綱（2019年8月開始教學使用，2021年5月第一次評價）要求編寫的Mathematics Analysis and Approaches HL 2（2019年第1版）。每一章的開篇都是一個Opening problem（開放問題），設置實際背景，提出若干相關數學問題。在講解相關數學內容時還設置了History note（歷史筆記），介紹數學發展史和相關數學家。每章都有若干Investigation（探索）和Activity（活動），還設置了Puzzle（智力游戲）、Discussion（討論）以及IBDP特有的Theory of knowledge（知識論）。這些設置豐富了學生的閱讀，為拔尖創新人才的培養提供了學科素材以及思考問題的途徑和方向。

四、數學教學設計的比較

拔尖創新人才的培養是一個長期、系統、有挑戰性、需要多方面協作的任務，這個任務最終要落到日常的教學工作中。下面，以蘇教版高中數學新教材和IBDP Mathematics AA HL教材中“指數函數的導數”為例，對比教師在培養學生探究質疑能力方面不同的教學設計。

【案例1】 蘇教版高中數學選擇性必修第一冊“5.2.1基本初等函數的導數”教學片段

師如何求y=ax的導數？

生根據導數的定義來求，但是有困難。

師你打算如何研究這個問題？

生可以借助計算器，從特殊的、熟悉的指數函數開始研究。

師在研究f（x）=2x的導數過程中，你有什么發現？接下來，你覺得要做什么？

生根據定義，ΔyΔx=2（x+Δx）-2xΔx=2x·2Δx-1Δx，當Δx→0時，ΔyΔx=2x·2Δx-1Δx趨近于什么？當Δx=0.001時，2Δx-1Δx≈0.69339;當Δx=0.0001時，2Δx-1Δx≈0.69317;當Δx=0.00001時，2Δx-1Δx≈0.69314。由此可以發現：當Δx→0時，2Δx-1Δx趨近于一個確定的常數，約等于0.69314，得出結論（2x）′=0.69314×2x。

師接下來，類比之前研究指數函數圖像的方法，再多取幾個不同底數的指數函數來研究。

（學生研究。教師組織匯總，得出表2。）

師根據表中的數據，你有什么新的發現？

生當底數為e時，對應的值為1，恰好是以e為底的e的對數。

生當底數分別為2和12時，對應的值互為相反數，也說明該數值與對數有關。猜想：（ax）′=axln a（a>0，a≠1）。

師猜想一定正確嗎？

生猜想需要驗證，可以再取不同的指數函數驗證，也可以嘗試證明。

（教師鼓勵學有余力的學生查閱相關資料，嘗試證明猜想。）

【案例2】 IBDP Mathematics AA HL教材“17.E指數函數的導數”教學片段

師如何求指數函數的導數？

生利用導數的定義。

師利用導數的定義是對的，我們還要注意借助幾何直觀。來看具體的例子：f（x）=ex。求它在x=0處的導數，就相當于求limh→0eh-1h。怎么求？

生可以借助計算器，選取若干h的值，計算eh-1h的值。

師分解問題：h→0意味著什么？

生h從左側和右側趨近于0。

師選取h的值時，應該正數和負數都選取。趨近意味著取值時，h的絕對值要盡量接近0。選取h=0.1、0.01、0.001、00001、0.00001、-0.1、-0.01、-0001、-0.0001、-0.00001，計算eh-1h的值。觀察結果，給出猜想：limh→0eh-1h=1。從而得出結論：ddxex=（ex）′=ex。

生利用e的定義limn→∞1+1nn=e，用代數方法推導出上述結果。

生利用導數的幾何意義，大致判斷指數函數導數的圖像。

師接下來，從底數為e的指數函數的導數推導出底數為a的指數函數的導數，我們需要做什么？

……

師上述結果的得出，建立在對極限的直觀認識上，通過特殊數值給出猜想，通過幾何直觀給出猜想。今后，還需要數學上的嚴格證明。這是對目前結論的認識。

兩個案例都注重數學思維的培養。比如如何研究這個問題，就是提出了研究問題的一般思路和方法。拔尖創新人才善于全面思考問題，綜合使用有創意的和創新的方式解決復雜的問題。在平時的教學中，不斷強化學生全面審視和評判問題和方法的意識，正是培養拔尖創新人才的可靠途徑。兩個案例也都體現了現代技術手段的使用對學生理解數學、學習數學的幫助。大數據時代，學生應該有意識地應用現代技術手段，以擺脫繁雜的計算，更加關注數學的本質。兩個案例還都強調了對導數公式嚴格證明的思考，這進一步培養了學生的創新能力和實踐能力。

兩個案例各有側重。蘇教版高中數學新教材對導數定義的處理是幾何直觀和數值認識，因此，案例中對指數函數導數的求解主要是數值認識，通過多個例子歸納總結出猜想，后續學習中主要是應用結論分析函數。而根據IBDP 數學課程大綱要求，學生已經學習了極限的非正式定義、導數的定義，所以，案例中強調了指數函數導數的代數推導，只是在遇到求極限的問題時借助了數值分析給出猜測，進一步的學習中需要數學推導和證明。

五、幾點啟示

中外高中數學課程在拔尖創新人才培養方面有哪些共同的追求，又有哪些不同的視角？分享幾點啟示。

（一）著眼未來，強調創新

“毫無疑問，創造力是最重要的人力資源。沒有創造力，就沒有進步，我們就會永遠重復同樣的模式。”沒有能獨立思考和獨立判斷的有創造力的個人，社會就不可能向上發展。因此，從世界范圍來看，無論發達國家還是發展中國家，培養拔尖創新人才都是教育的重要目標之一。從本文的分析中也可以看到，無論蘇教版高中數學新教材還是IBDP Mathematics AA HL教材，都非常重視培養學生的創新能力。也就是說，在培養拔尖創新人才的觀念上，它們具有一致性。

（二）課程豐富，欄目新穎

從蘇教版高中數學新教材和IBDP Mathematics AA HL教材的課程設置和內容結構的比較中不難發現，中外課程的設置都能針對不同層次水平的學生，提供相應的課程選擇。比如，在拔尖創新人才培養方面，兩種教材都配置了高等數學的相關內容。而為了激發學生學習數學的興趣，增強學生學習數學的勇氣，兩種教材在欄目設計方面均融入了很多新穎的、有趣的、開放的內容以及數學文化。這些分層次的課程內容和新穎的欄目設置，能為資質優異的學生創造更適合其個性發展及能力提升的教育條件。

（三）探究實踐，發展思維

經過對比，我們發現蘇教版高中數學新教材和IBDP Mathematics AA HL教材不僅呈現了豐富的背景材料、多樣化的探究性問題，還為拔尖創新人才的培養提供了充足的實踐素材，通過數學建模或研究性學習的方式培養學生的探究實踐能力，發展學生的創新思維。數學建模是一項具有創造性的活動，既具有一定的理論性，又具有較強的實踐性。在數學建模過程中，學生獨立、自覺地應用所給的條件，尋求解決問題的最佳方案，可以培養想象力、直覺思維能力、轉換能力、構造能力、邏輯思維能力等，這些數學能力正是創造性思維最基本的特征。可見，實施數學建模的教學是培養拔尖創新人才的重要舉措。

（四）要求不同，落實有異

盡管蘇教版高中數學新教材和IBDP Mathematics AA HL教材在很多方面有相似之處，但在許多知識點要求方面仍存在著一定的差異。比如，前述教學設計的對比中，IBDP Mathematics AA HL教材要求掌握“極限”的概念，對指數函數的導數公式，不僅要通過大數據歸納，更要用定義證明;蘇教版高中數學教材因為不涉及“極限”概念，只要求在數據探究的基礎上感受、了解。當然，即使是類似的內容要求，要真正落實拔尖創新人才的培養，也需要教師在日常的教學設計和教學實踐中有意識地發展學生的數學思維能力和創新能力。

教育是創新的源頭，教學是教育的一部分，教材是教學的依據。教材在培養學生的創新能力方面扮演著重要的角色。本文以蘇教版高中數學新教材和IBDP Mathematics AA HL教材為載體，初步探索了中外高中數學課程在拔尖創新人才培養方面的異同。我們發現，中外高中數學課程無論是在宏觀的課程理念、課程設置方面，還是在微觀的教材欄目、教學設計方面，都存在著極大的相通之處，只是在某些具體章節的內容順序和難度要求上有所差異。比較的意圖是期望取長補短，將更多、更好的元素融進我們的教材編寫和教學設計中，提升師生的創新意識，努力為國家培養更多的拔尖創新人才。

參考文獻：

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