含參集值向量擬均衡問題和對偶問題解Lipschitz連續性

孟 旭 東

(南昌航空大學科技學院，江西 共青城 332020 )

0 引 言

集值向量擬均衡問題是變分不等式、優化問題、交通問題、不動點問題等的統一模型[1-2]．集值向量擬均衡問題解的穩定性分析是最優化理論和應用中的一個重要課題．穩定性蘊含了各類連續性，如半連續性[3-4]、連續性[5-6]、Hausdorff連續性[7-8]等．集值向量擬均衡問題解的穩定性成果不僅可以為集值向量擬均衡問題解的連通性、對偶性、近似計算研究奠定堅實的理論分析依據，而且廣泛應用于數理經濟、資源配置、交通網絡、管理決策及工程設計等眾多領域．

(參數)集值向量擬均衡問題解的H?lder連續性[9-11]和Lipschitz連續性[12-16]是近年來學者們研究的熱點課題，對其研究的核心方法主要涉及標量化方法與非線性尺度化方法．借助標量化方法，Peng等在文獻[9]中獲得了一類參數集值映射弱廣義Ky Fan不等式近似解映射的H?lder連續的充分性條件；Lam等在文獻[10]中建立了參數向量均衡問題集值近似解映射的H?lder連續的充分性定理．運用非線性尺度化方法，Wangkeeree 等在文獻[11]中得到了具集值映射參數廣義向量擬均衡問題解映射的H?lder連續的最優性條件．結合標量化技術，Li等在文獻[12]中借助Hausdorff度量的概念，建立了有關向量均衡問題近似解映射的Lipschitz連續性定理，并將其應用于最優化問題和參數變分不等式；Sadeqi等在文獻[13]中研究了參數集值向量均衡問題近似解映射的Lipschitz連續性；Han在文獻[14]中給出了參數廣義向量均衡問題強有效近似解映射的Lipschitz連續的最優性條件；孟旭東等在文獻[15]中分析了含參集值向量均衡問題近似解映射的Lipschitz連續性，并應用于含參集值向量優化問題近似解映射的Lipschitz連續的充分性條件；在文獻[16]中借助向量函數的強凸(凹)性和單調性，應用分析方法建立了參數強向量原始與對偶均衡問題解映射Lipschitz連續的充分性定理；在文獻[17]中獲得了含參向量優化問題的弱解映射、解映射、弱最優值映射及最優值映射的上Lipschitz連續和下Lipschitz連續的充分性定理．萬德龍等在文獻[18]中于解映射不具任何凸性、單調性和單值性的條件下，給出了參數非凸弱廣義Ky Fan不等式解映射Lipschitz連續的充分性條件． 本文在賦范線性空間中借助不同于以上文獻的研究方法研究目標函數和約束函數在參數擾動下兩類含參集值向量擬均衡問題和對偶問題解的Lipschitz連續性定理．

1 準備知識

設F：X×X×N→2Y{?}，K：X×M→2X{?} 為集值映射，對每個點(λ，μ)∈M×N，研究以下兩類含參集值向量擬均衡問題，分別簡記為問題(PSVQEP1)與問題(PSVQEP2)．

問題(PSVQEP1)：找到點x0∈K(x0，λ)，使得

F(x0，y，μ)∩(Y(-int(C)))≠?，?y∈K(x0，λ)

問題(PSVQEP2)：找到點x0∈K(x0，λ)，使得

F(x0，y，μ)?Y(-int(C))，?y∈K(x0，λ)

記集合E(λ)={x∈X|x∈K(x，λ)}，用S1(λ，μ)與S2(λ，μ)分別表示問題(PSVQEP1)的解集與問題(PSVQEP2)的解集，即

S1(λ，μ)={x∈E(λ)|F(x，y，μ)∩

(Y(-int(C)))≠?，?y∈K(x，λ)}

與

S2(λ，μ)={x∈E(λ)|F(x，y，μ)?

Y(-int(C))，?y∈K(x，λ)}

問題(PSVQEP1)與問題(PSVQEP2)的對偶問題分別記為問題(DPSVQEP1)與問題(DPSVQEP2)．

問題(DPSVQEP1)：找到點x0∈K(x0，λ)，使得

F(y，x0，μ)∩(-Y(-int(C)))≠?，?y∈K(x0，λ)

問題(DPSVQEP2)：找到點x0∈K(x0，λ)，使得

F(y，x0，μ)?-Y(-int(C))，?y∈K(x0，λ)

(-Y(-int(C)))≠?，?y∈K(x，λ)}

與

-Y(-int(C))，?y∈K(x，λ)}

定義1[14]設L≥0，G：M→2X{?}為集值映射，稱G在M上為L-Lipschitz連續的當且僅當對任意的點λ1，λ2∈M，有

定義2設L≥0，F：X×X×N→2Y{?}為集值映射，

(1)稱F在X×X×N上關于第1個變量為L-Lipschitz連續的當且僅當對任意的點(y，μ)∈X×N及點x1，x2∈X，有

(2)稱F在X×X×N上關于第2個變量為L-Lipschitz連續的當且僅當對任意的點(x，μ)∈X×N及點y1，y2∈X，有

(3)稱F在X×X×N上關于第3個變量為L-Lipschitz連續的當且僅當對任意的點(x，y)∈X×X及點μ1，μ2∈N，有

定義3設α≥0，β≥0，K：X×M→2X{?}為集值映射，稱K在X×M上為α-β-Lipschitz一致連續的當且僅當對任意的點(x1，λ1)，(x2，λ2)∈X×M，有

2 問題(PSVQEP1)與問題(PSVQEP2)解的Lipschitz連續性

本章研究問題(PSVQEP1)與問題(PSVQEP2)解的Lipschitz連續性，為敘述的簡潔性，特給出以下基本假設．

設F：X×X×N→2Y{?}，K：X×M→2X{?} 為集值映射，U(λ0)×V(μ0)?M×N為給定點(λ0，μ0)∈M×N的鄰域，對任意的點λ∈U(λ0)，記集合E(λ)={x∈X|x∈K(x，λ)}．

(H1)對任意的點(λ，μ)∈U(λ0)×V(μ0)，有S1(λ，μ)?E(λ)為非空緊子集；

(H2)對任意的點(λ，μ)∈U(λ0)×V(μ0)，有S2(λ，μ)?E(λ)為非空緊子集；

(H3)集值映射K(·，·)在E(U(λ0))×U(λ0)?X×M上為L1-L2-Lipschitz一致連續的；

(H4)對任意的點(λ，μ)∈U(λ0)×V(μ0)及點y∈E(U(λ0))S1(λ，μ)，存在點x1∈S1(λ，μ)，有

(H5)對任意的點(λ，μ)∈U(λ0)×V(μ0)及點y∈E(U(λ0))S2(λ，μ)，存在點x2∈S2(λ，μ)，有

(H6)對任意的點(λ，μ)∈U(λ0)×V(μ0)及點x∈E(λ)，集值映射F(x，·，μ)關于第2個變量在K(E(U(λ0))，U(λ0))上為L3-Lipschitz連續的；

(H7)對任意的點λ∈U(λ0)及點x，y∈E(λ)，集值映射F(x，y，·)關于第3個變量在V(μ0)上為L4-Lipschitz連續的；

首先討論問題(PSVQEP1)解的Lipschitz連續性．

定理1假若條件(H1)、(H3)、(H4)、(H6)、(H7)、(H8)成立，則對任意的點(λ，μ1)，(λ，μ2)∈U(λ0)×V(μ0)，有

(1)

證明顯然地，若S1(λ，μ1)=S1(λ，μ2)，則式(1)成立．

假設S1(λ，μ1)≠S1(λ，μ2)，分以下兩種情形討論：

情形1若S1(λ，μ1)?S1(λ，μ2)且S1(λ，μ2)?S1(λ，μ1)，對任意的點x(λ，μ1)∈S1(λ，μ1)S1(λ，μ2)，據條件(H4)知，存在點x(λ，μ2)∈S1(λ，μ2)，有

(2)

據點x(λ，μ1)∈K(x(λ，μ1)，λ)，x(λ，μ2)∈K(x(λ，μ2)，λ)，結合條件(H3)知，存在點x1∈K(x(λ，μ2)，λ)，x2∈K(x(λ，μ1)，λ)，有

(3)

(4)

由x(λ，μ1)∈S1(λ，μ1)，x(λ，μ2)∈S1(λ，μ2)，知存在點y1∈F(x(λ，μ1)，x2，μ1)∩(Y(-int(C)))，y2∈F(x(λ，μ2)，x1，μ2)∩(Y(-int(C)))，結合式(2)，有

ρ(F(x(λ，μ2)，x(λ，μ1)，μ2)，F(x(λ，μ2)，x1，μ2))+

ρ(F(x(λ，μ1)，x2，μ1)，F(x(λ，μ1)，x(λ，μ2)，μ2))≤

ρ(F(x(λ，μ2)，x(λ，μ1)，μ2)，F(x(λ，μ2)，x1，μ2))+

ρ(F(x(λ，μ1)，x2，μ1)，F(x(λ，μ1)，x(λ，μ2)，μ1))+

ρ(F(x(λ，μ1)，x(λ，μ2)，μ1)，F(x(λ，μ1)，x(λ，μ2)，μ2))

再注意到條件(H6)、(H7)，并結合式(3)與式(4)，得

據條件(H8)，知

又注意到點x(λ，μ1)∈S1(λ，μ1)S1(λ，μ2)任意性，有

(5)

再結合d(·，·)的定義，知

(6)

類似可得

(7)

據式(6)與式(7)知，式(1)成立．

情形2若S1(λ，μ1)?S1(λ，μ2)或S1(λ，μ2)?S1(λ，μ1)，不失一般性，不妨假設S1(λ，μ1)?S1(λ，μ2)，據d(·，·)的定義，得

(8)

類似情形1同樣的論證過程知式(7)成立．結合式(7)與式(8)知，式(1)成立．

定理2假若條件(H1)、(H3)、(H4)、(H6)、(H9)成立，則對任意的點(λ1，μ)，(λ2，μ)∈U(λ0)×V(μ0)，有

(9)

證明顯然地，若S1(λ1，μ)=S1(λ2，μ)，則式(9)成立．

假設S1(λ1，μ)≠S1(λ2，μ)，分以下兩種情形討論：

情形1若S1(λ1，μ)?S1(λ2，μ)且S1(λ2，μ)?S1(λ1，μ)，對任意的點x(λ2，μ)∈S1(λ2，μ)S1(λ1，μ)，據條件(H4)知，存在點x(λ1，μ)∈S1(λ1，μ)，有

(10)

據點x(λ2，μ)∈K(x(λ2，μ)，λ2)，x(λ1，μ)∈K(x(λ1，μ)，λ1)，結合條件(H3)知，存在點x1∈K(x(λ2，μ)，λ1)，x2∈K(x(λ1，μ)，λ2)，有

(11)

(12)

(13)

(14)

ρ(F(x(λ1，μ)，x(λ2，μ)，μ)，F(x(λ1，μ)，x1，μ))+

ρ(F(x(λ2，μ)，x(λ1，μ)，μ)，F(x(λ2，μ)，x2，μ))+

再注意到條件(H6)，并結合式(11)～(14)，得

據條件(H9)，知

又注意到點x(λ2，μ)∈S1(λ2，μ)S1(λ1，μ)任意性，有

再結合d(·，·)的定義，知

(15)

類似可證

(16)

據式(15)與式(16)知，式(9)成立．

情形2若S1(λ1，μ)?S1(λ2，μ)或S1(λ2，μ)?S1(λ1，μ)，不失一般性，不妨假設S1(λ1，μ)?S1(λ2，μ)，據d(·，·)的定義，得

(17)

類似情形1的論證過程知式(15)成立．結合式(15)與式(17)知，式(9)成立．

定理3假若條件(H1)、(H3)、(H4)、(H6)、(H7)、(H8)、(H9)成立，則對任意的點(λ1，μ1)，(λ2，μ2)∈U(λ0)×V(μ0)，有

ρ(S1(λ1，μ1)，S1(λ2，μ2))≤

(18)

證明注意到ρ(S1(λ1，μ1)，S1(λ2，μ2))≤ρ(S1(λ1，μ1)，S1(λ1，μ2))+ρ(S1(λ1，μ2)，S1(λ2，μ2))，并結合式(1)與式(9)知，式(18)成立．

現給出例子說明定理3中結果的有效性．

類似問題(PSVQEP1)解的Lipschitz連續性的論證過程，易得問題(PSVQEP2)解的Lipschitz連續性定理．

定理4假若條件(H2)、(H3)、(H5)、(H6)、(H7)、(H8)成立，則對任意的點(λ，μ1)，(λ，μ2)∈U(λ0)×V(μ0)，有

定理5假若條件(H2)、(H3)、(H5)、(H6)、(H9)成立，則對任意的點(λ1，μ)，(λ2，μ)∈U(λ0)×V(μ0)，有

定理6假若條件(H2)、(H3)、(H5)、(H6)、(H7)、(H8)、(H9)成立，則對任意的點(λ1，μ1)，(λ2，μ2)∈U(λ0)×V(μ0)，有

現舉例檢驗定理6結論的有效性．

3 問題(DPSVQEP1)與問題(DPSVQEP2)解的Lipschitz連續性

本章分析問題(DPSVQEP1)與問題(DPSVQEP2)解的Lipschitz連續性，為敘述的方便性，特給出以下基本假設．

設F：X×X×N→2Y{?}，K：X×M→2X{?}為集值映射，U(λ0)×V(μ0)?M×N為給定點(λ0，μ0)∈M×N的鄰域，對任意的點λ∈U(λ0)，記集合E(λ)={x∈X|x∈K(x，λ)}．

(T5)對任意的點(λ，μ)∈U(λ0)×V(μ0)及點x∈E(λ)，集值映射F(·，x，μ)關于第1個變量在K(E(U(λ0))，U(λ0))上為L5-Lipschitz連續的；

首先分析問題(DPSVQEP1)解的Lipschitz連續性．

定理7假若條件(T1)、(T3)、(H3)、(T5)、(T6)、(H7)成立，則對任意的點(λ，μ1)，(λ，μ2)∈U(λ0)×V(μ0)，有

(19)

(20)

據點x(λ，μ1)∈K(x(λ，μ1)，λ)，x(λ，μ2)∈K(x(λ，μ2)，λ)，結合條件(H3)知，存在點x1∈K(x(λ，μ2)，λ)，x2∈K(x(λ，μ1)，λ)，有

(21)

(22)

ρ(F(x(λ，μ2)，x(λ，μ1)，μ2)，F(x2，x(λ，μ1)，μ1))+

ρ(F(x(λ，μ1)，x(λ，μ2)，μ2)，F(x1，x(λ，μ2)，μ2))≤

ρ(F(x(λ，μ2)，x(λ，μ1)，μ2)，F(x(λ，μ2)，

x(λ，μ1)，μ1))+ρ(F(x(λ，μ2)，x(λ，μ1)，μ1)，

F(x2，x(λ，μ1)，μ1))+ρ(F(x(λ，μ1)，x(λ，μ2)，μ2)，F(x1，x(λ，μ2)，μ2))

由條件(T5)、(H7)，式(21)、式(22)，得

并注意到(T6)，知

(23)

再結合d(·，·)的定義，知

(24)

類似可證

(25)

據式(24)與式(25)知，式(19)成立．

(26)

類似情形1的論證過程知式(25)成立．結合式(25)與式(26)知，式(19)成立．

定理8假若條件(T1)、(T3)、(H3)、(T5)、(T7)成立，則對任意的點(λ1，μ)，(λ2，μ)∈U(λ0)×V(μ0)，有

(27)

(28)

再據點x(λ2，μ)∈K(x(λ2，μ)，λ2)，x(λ1，μ)∈K(x(λ1，μ)，λ1)，并結合條件(H3)知，存在點x1∈K(x(λ2，μ)，λ1)，x2∈K(x(λ1，μ)，λ2)，有

(29)

(30)

(31)

(32)

ρ(F(x(λ1，μ)，x(λ2，μ)，μ)，F(x2，x(λ2，μ)，μ))+

ρ(F(x(λ2，μ)，x(λ1，μ)，μ)，F(x1，x(λ1，μ)，μ))+

再注意到條件(T5)，并結合式(29)～(32)，得

據條件(T7)，知

再結合d(·，·)的定義，知

(33)

類似可證

(34)

據式(33)與式(34)知，式(27)成立．

(35)

類似情形1的論證過程知式(33)成立．結合式(33)與式(35)知，式(27)成立．

定理9假若條件(T1)、(T3)、(H3)、(T5)、(T6)、(T7)、(H7)成立，則對任意的點(λ1，μ1)，(λ2，μ2)∈U(λ0)×V(μ0)，有

(36)

現給出例子檢驗定理9的結論．

類似問題(DPSVQEP1)解的Lipschitz連續性的分析過程，易知問題(DPSVQEP2)解的Lipschitz 連續性定理．

定理10假若條件(T2)、(T4)、(H3)、(T5)、(T6)、(H7)成立，則對任意的點(λ，μ1)，(λ，μ2)∈U(λ0)×V(μ0)，有

定理11假若條件(T2)、(T4)、(H3)、(T5)、(T7)成立，則對任意的點(λ1，μ)，(λ2，μ)∈U(λ0)×V(μ0)，有

定理12假若條件(T2)、(T4)、(H3)、(T5)、(T6)、(T7)、(H7)成立，則對任意的點(λ1，μ1)，(λ2，μ2)∈U(λ0)×V(μ0)，有

現舉例分析定理12結論的有效性．

4 結 語

本文在目標函數和約束函數受參數擾動下于賦范線性空間中建立了含參集值向量擬均衡問題和對偶問題解的Lipschitz連續性定理．研究結果表明，兩類含參集值向量擬均衡問題和對偶問題解的Lipschitz連續的充分性條件具有一致性數學結構，這為研究含參集值向量擬均衡問題和對偶問題(近似)解的Lipschitz連續性奠定了理論依據，并為獲得廣義含參集值向量擬均衡問題和對偶問題(近似)解的Lipschitz連續性和H?lder連續性統一框架模型提供了研究思路，同時為研究集值向量擬均衡問題解的連通性、對偶性、近似計算等提供了理論借鑒．