例談構造函數在導數解題中的應用

羅偉

導數是高考命題的熱點和難點之一，可以利用導數來證明不等式、求參數的取值范圍、探究函數的零點等問題，命制的題目具有結果獨特、綜合性強等特點，而構造函數是解決導數問題的基本方法，如何合理地構造函數是解題的關鍵，下面舉例談談構造函數的一些常用方法。

題型一、構造可導的積的形式函數

例1

解析：

題型二、構造可導的商的形式函數

例2

解析：

點評：

題型三、對局部進行構造函數

例3

證明：

點評：對于一類不等式的證明或求參數問題，若直接構造函數無法解決，則我們可以將問題轉化為構造函數h（x）=f（x）·g（x），其中f（x）與g（x）某一個函數可（）/）明顯判斷出與零的大小關系，則另外一個函數即為構造對象，可以簡化解題過程，順利解決問題。

題型四、先放縮再構造函數

例4設函數f（x）=ln（x+1）+?x+1+ax+b（a，bER，a，b為常數），曲線 y=f（x）與直線y=3/2x在點（0，0）處相切。

（1）求a，b的值;

（2）

解析：（1）a=0，b=—1。（過程略）

（2）

點評：若待求的函數式較為復雜時，可利用函數的單調性、基本不等式、已成立的不等式等將函數式的一部分進行放縮，然后再構造函數，這樣可以獲得事半功倍的效果。例如：要證f（x）g（x）→ f（x）>h（x）（新構造的函數）>g（x）。

題型五、變形后再構造函數

例5

解析：

點評：對于一類指數式的不等式，可以先對不等式兩邊取對數，進行等價轉化，使函數式得以化簡，再構造函數;或者對主元的結構形式進行換元，將分式化為整式進行換元，這樣可以簡化構造的函數。例如：本題如果直接構造函數，極值點不能具體求x出，需要整體代換，過程相對復雜，沒有上述方法簡潔易行?！?br>