函數的幾種數學模型應用探究

岑春靜

函數是高中數學知識的主線之一，也是高考的難點，要注意對函數基本性質的歸納總結，特別是函數的最值、對稱性、零點等問題。求函數的參變量問題是高考的熱點，我們在學習的過程中也要加強歸納總結。

題型一、形如函數f（x）=1nx（x>0）的圖像問題

結論1：

證明

例1已知a>0，且a≠1，函數f（x）/（x>0）。

（1）當a=2時，求函數f（x）的單調區間。

（2）當函數y=f（x）與直線y=1有且僅有兩個交點時，求參變量a的取值范圍。

解析：

題型二、函數的中心對稱問題

結論2：如果函數f（x）對任意xED，恒有f（a-x）+f（b+x）=c，那么函數f（x）的圖像關于P（a2b，/2）中心對稱。

證明：

例2

解析：

題型三、函數的對稱性問題

結論3：若函數f（x）滿足f（a+x）=f（b+x），則函數f（x）關于直線x=a+b對稱。

例3

解析：

題型四、函數的奇偶性問題

結論4：若函數f（x）是奇函數，且g（x）=f（x）+c，則g（-x）+g（x）=2c。

證明：由于函數f（x）是奇函數，所以f（-x）=-f（x），故g（-x）+g（x）= f（-x）+c+f（x）+c=2c成立。

例4 已知函數f（x）=asinx+bln

解析：令g（x）=asinx+bln

結論5：已知函數f（x）是定義域D上的奇函數，則f（x）對任意的xED，都有f（x）+f（—x）=0成立。特別地，當奇函數f（x）在D上有最大值和最小值時，則f（x）max+f（x）mn=0。

例5

解析：

結論6：若函數f（x）為偶函數，則f（x）=f（|x|）成立。

證明：當x≥0時，|x|=x，故f（x）=f（|x|）;當x<0時，f（|x|）=f（-x），由函數f（x）是偶函數，得f（—x）=f（x）。所以f（|x|）=f（x）成立。

例6

解析：

綜上所述，函數的最值、單調性、對稱性、中心對稱、奇偶性是高考考查的熱點，對同學們的綜合能力、創新能力有很高的要求，因此，在平常的學習過程中要認真總結歸納，不斷反思。

（責任編輯王福華）E73D4F9A-3239-4872-9088-166DC0D09DEC