用導數研究不等式問題的解題策略

陳貴東

本文探究用導數研究不等式恒成立、構造函數證明不等式等問題的解題策略，希望對同學們的復習備考能有所幫助。

策略1：含參不等式恒成立問題中的“分離參數構造函數法”

例1

解析：

感悟：若不等式恒成立問題中的參數可分離，則可采用分離參數構造函數法進行求解。即f（x，λ）≥0（xED）（λ是實參數）恒成立，將f（x，λ）≥0轉化為λ≥g（x）或≤g（x）（xED）恒成立，進而轉化為入≥g（x）max或λ≤g（x）mm（xED），用導數法求 g（x）的最值，對于復雜問題分離參數時需要分類討論。

策略2：依據不等式的結構特征構建新函數求解恒成立問題

例2（2022屆皖豫名校聯盟體高三上學期第一次聯考）已知函數f（x）=2x+/—1的圖像與直線y=1相切。

（1）求實數a的值;

（2）若k<2，且f（x）≥kx—1恒成立，求實數k的最小值。

解析：

感悟：對于函數不等式恒成立或者有解求參的問題，常用變量分離或參變分離轉化為求新函數的最值問題;當參數不易分離時，把握不等式的特征作差構建新函數，再求新函數的最值，使得新函數的最值大于或者小于0探究出參數的范圍;或者分離成兩個函數，使得一個函數恒大于或小于另一個函數的條件構建不等式求解。

策略3：把證明f（x）>g（x）轉化為證明f（x）min>g（x）max

例3（2022屆重慶市南開中學高三上學期月考）已知函數f（x）=/，g（x）=Inx。

（1）當a>0時，討論函數F（x）=af（x）-g（x）-1/2的單調性;

（2）當a>1時，求證：axf（x）-g（ax）>（e-1）x+1。

解析：

感悟：有時候把證明f（x）>g（x）轉化為證明f（x）—g（x）>0后，可能會出現f（x）—g（x）的導函數很復雜，很難根據導函數研究f（x）—g（x）的最值，而f（x）的最小值及g（x）的最大值都比較容易求，可考慮利用證明f（x）min>g（x）max的方法證明原不等式，但要注意這種方法有局限性，因為f（x）>g（x）未必有f（x）mn>g（x）max。

策略4：多變量不等式通過換元法減元構造新函數求……