導數的交匯題賞析

祁祺

導數是高中數學解題中一種重要的工具，可以解決很多數學問題，所以命題者常常將導數與其他知識交匯命制題目，下面列舉幾例，供大家賞析。

一、集合與導數的交匯

例1設函數f（x）=/=/1，，集合M={x|f（x）<0}，P={x|f'（x）>0}，若M P，則實數a的取值范圍為（）。

A.（-oo，0）

B.（0，1）

C.（1，+0）

D.[1，+o） x-a

解析：

評注：本題將集合的運算與導數的計算融合在一起進行命題，既考查了解不等式，也考查了分數函數的求導。解答此題的常規步驟是：①確定集合M，P;②由集合的關系求實數a的取值范圍。

二、解三角形與導數的交匯

例2在ΔABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊長，已知C=/3，a+b=xc （其中入>1）。

（1）當λ=2時，證明：a=b=c;

（2）若AC·BC=x3，求邊長c的最小值。

解析：

評注：本題考查了正弦定理、余弦定理及導數知識的運用。首先確定函數關系式，再利用導數求出最值是解題的關鍵。

三、數列與導數的交匯

例3 已知函數f（x）=ax-lnx+b。

（1）若a+b=0，且f（x）≥0，求a的值;

（2）證明：ln2+1n3+···+ln（n+1）> 2n 2（n+1） （nEN"）。

解析：

評注：此類問題一般先由已知條件及導數得出一個不等式，再把該不等式中的自變量依次用1，2，3，··.，n代換，然后用疊加法證明。

四、立體幾何與導數的交匯

例4

（1）求球O的表面積;

（2）證明：平面POC上平面ABC，且平面POC上平面PAB;

（3）與側面PAB平行的平面α與棱AC，BC，PC分別交于D，E，F，求四面體 ODEF的體積的最大值。

解析：

評注：本題第（3）問，先求C到平面PAB的距離H。設CD=λCA（0<λ<1），C到平面DEF的距離為h。由平面PAB//平面DEF，得到ΔDEFのΔABP，則可得ΔDEF的面積，求出h=3λ，得到O到平面DEF的距離為3—3λ，則四面體ODEF的體積V=3x2（1—λ）。轉化為函數，再利用導函數求得最大值。

五、解析幾何與導數的交匯

例5 已知拋物線E：y2=2px（p>0），圓F：（x-2）2+y2=r2（r>0），當r=3 時，拋物線E與圓F僅有兩個交點。

（1）求拋物線E的方程;

（2）

解析：

評注：解答本題的關鍵是列出S的表達式，進一步變形為S2的表達式，運用換元法，構造函數y=-x3-x2+x+1，xE（0，1），再利用導數求出函數的最值。本題是一道將解析幾何與導數巧妙交匯命制的綜合性題目，難度較大。