導數易錯題剖析

陳家飛

導數是高中階段研究函數的重要工具，有著廣泛的應用，但是同學們在學習過程中存在一些誤區，經常出現一些錯誤，本文對有關易錯點進行歸納剖析，供大家參考。

易錯點1：對函數單調的充要條件理解不清致錯

例1函數f（x）=ax3-x2+x-5在區間（一0，+0）上是增函數，求實數a的取值范圍。

錯解：

剖析：錯解將“導函數在區間D上大于零”當作“函數在區間D上是增函數”的充要條件。比如，函數f（x）=x3在R上是增函數，則在R上f'（x）=3x2≥0恒成立，而不是f'（x）=3x2>0。由函數在區間D上為增函數（減函數），求參數的范圍時，首先由f'（x）≥0（或f'（x）≤0）在D上恒成立求出參數的范圍，再驗證f'（x）=0時的參數值是否滿足f'（x）在D的任一子區間上不恒為零。若不恒為零，則保留;否則舍去。

正解：

易錯點2：將“過某點的切線”與“在某點的切線”混淆致錯

例2 已知曲線S：y=3x—x3，求過點P（2，—2）的切線方程。

錯解：由題意可知，點P（2，—2）在曲線S上，且y'=3—3x2，則過點P的切線的斜率k=y'lx=2=—9，所以過點P的切線方程為y+2=-9（x-2），即9x+y-16=0。

剖析：由導數的幾何意義可知，f'（x。）表示曲線y=f（x）在點（xo，f（xo））處的切線的斜率，其中（xo，f（x。））為切點，但題中所給的點P（2，—2）不一定是切點。曲線在某點處的切線的斜率是該曲線對應的函數在該點處的導數值，這是導數的幾何意義。在此題中，點P湊巧在曲線S上，求過點P的切線方程，卻并非說切點一定是點P，錯解是對求過點P的切線方程和求曲線在點P處的切線方程，認識不到位，發生了混淆。

正解：設切點為Q（xo，yo），則過點P的曲線S的切線的斜率k=y'|x=x。=3—3x，所以切線方程為y—y。=（3—3x2）（x—xo）。因為切線過點P（2，—2），所以—2—y。=（3—3x2）（2-x。）。又因為yo=3x。-x8，所以-2- （3x0-x/3）=（3-3x2）（2-xo），整理得x8-3x +4=0，即（x。+1）（x?！?）2=0，解得x。=—1或x。=2。若x。=—1，則切點為（—1，—2），切線方程為y=—2;若x。=……