函數性質應用中的“數學素養”

李明

函數性質是整個高中數學的核心內容，是高中數學的主線，所有知識均可與函數建立聯系，都可圍繞這一主線展開，函數的單調性、奇偶性和周期性更是高考考查的重中之重，常與方程、不等式等知識結合起來考查，本文探究函數性質應用中的“數學素養”。

一、抽象函數性質探究中的“思維方法”

例1（2021年江蘇省蘇州市高新區第一中學高三月考）已知定義在R上的函數f（x）滿足：對任意x，yER，都有f（x+y）= f（x）+f（y），且當x>0時，f（x）>0。

（1）求f（0）的值，并證明f（x）為奇函數;

（2）判斷函數f（x）的單調性，并證明;

（3）若f（k·2）+f（4+1-8-2）>0 對任意xE[—1，2]恒成立，求實數k的取值范圍。

解析：

體驗：對于抽象函數的有關問題，其求解的思維方法是：合理運用對應法則和題設條件，多次賦值探究奇偶性;依據定義、題設及法則證明其單調性;利用奇偶性和單調性轉化為函數不等式，通過不等式恒成立求參數的取值范圍;常用變量分離法、換元法、構造函數法等求最值。主要考查同學們的數學運算、構建函數模型及邏輯推理等能力。

二、函數對稱性應用中的“整體思維”

例2（2021年湖南省衡陽市雁峰區校級月考）已知函數f（x）=

（1）求證：存在定點M，使得函數f（x）的圖像上任意一點P關于點M對稱的點Q也在函數f（x）的圖像上，并求出點M的坐標;

（2）

解析：

體驗：當函數f（x）滿足f（x+a）+f（b—x）=c時，函數y=f（x）的圖像關于點（a+2b，2/2）對稱;利用“函數的對稱中心的特征，采用倒序相加法整體思維”可簡化求解函數值構成的數列的求和問題。對于函數不等式的證明，可用分析綜合法轉化為函數值的大小關系，構造新函數研究單調性進行求證。凸顯函……