函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的不等式問題

潘敬貞

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的不等式問題一直是高考考查的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題，主要包括兩種類型：已知不等式求參數(shù)的范圍和證明不等式。該類問題的求解對(duì)同學(xué)們的分析問題、轉(zhuǎn)化與化歸、代數(shù)變形、構(gòu)造新函數(shù)、分類討論、推理論證、運(yùn)算求解等能力要求比較高。本文結(jié)合實(shí)例對(duì)常見的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的不等式問題進(jìn)行歸納、梳理，主要目的是加強(qiáng)同學(xué)們對(duì)該類題備考的針對(duì)性，提高解決該類問題的能力，從而提高高考競(jìng)爭(zhēng)力。

一、已知不等式求參數(shù)的范圍

例1 已知函數(shù)f（x）=（x—1）e—a（x2+1），xE[1，+o）。

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性;（2）若f（x）≥-2a+lnx，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析：（1）略。

（2）

評(píng)注：解答本題的關(guān)鍵是由g'（1）=0得a=e—1，后面只需討論a>e—1和a≤—1時(shí)函數(shù)g（x）的符號(hào)即可。

例2 已知函數(shù)f（x）=ae-2ax- 2（a≠0）。

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性;

（2）

解析：

評(píng)注：本題是以探究存在性問題進(jìn)行設(shè)問，具有濃厚的探究味道，但本質(zhì)上和已知不等式求參數(shù)范圍是一致的，本題的方法1是正面突破，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，通過一系列推導(dǎo)和求解得出矛盾，最后下結(jié)論，這是這類問題的一般解法，但過程有點(diǎn)煩瑣;方法2是將問題轉(zhuǎn)化為f（x）mm>g（x）max，從而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍，最后得出結(jié)論，該思路也非常清晰、自然，解答過程簡(jiǎn)潔，是一種好的解法;方法3是通過分離參數(shù)，然后構(gòu)造新函數(shù)，該解法容易理解，也常用，但對(duì)運(yùn)算能力要求比較高，解答過程比較繁雜，沒有一定的數(shù)學(xué)功底很難完整地解答出來。＼

二、證明函數(shù)不等式

有關(guān)證明不等式問題，一般有轉(zhuǎn)化后求函數(shù)的最值問題，極值點(diǎn)偏移問題，對(duì)數(shù)均值不等式問題，有時(shí)還需要對(duì)函數(shù)進(jìn)行同構(gòu)等。例3……