煩人的無限小數

有一次，4

8，20

5和4

12在分數小屋一起玩變身游戲，它們先變成了1

2，4

1和1

3。緊接著，4

8 變成了0.5，20

5變成了4。輪到4

12了，它的身體開始飛速地長大，變成了0.333……幸虧4

8拿出了祖傳藥——循環丹，將4

12變成了0.3 ，分數小屋才沒有被撐破。

這是怎么回事？為什么有些分數可以變身成常見的小數，而有些卻變成無限小數了呢？

我將4

12拿過來，先在它身上做研究。4

12= 4

2×2×3，好像看不出有什么特別之處，于是我決定把其他的分數2

80，6

57，66

99，1

21，7

50 也拿來做研究，今天我非要把它們研究明白不可。

我先對分數進行化簡，再將分母展開成質因數相乘的形式，最后化為小數。

2

80=1

40=1

2×2×2×5=0.025? ? ? ? ? ? ? ?  ①

6

57=2

19=0.105263157……? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ②

66

99=2

3=0.6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?③

1

21=1

3×7=0.047619? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?④

7

50=7

2×5×5=0.14? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑤

這下子“搗蛋鬼”就被揪出來了！從式子中可以看出，分母的質因數中只包含2和5（式子①、⑤）這兩個數字，那么分數就可以化成一個有限小數;如果分母的質因數里有3，7，19（式子②、③、④）等這些“煩人”的數，那么只要分子是除0外的任意數，分數化成小數后都會成為無限小數。

“病根”找到了，那么“病因”呢？一位合格的“數學醫生”可不能如此草率地下結論。于是，我繼續做了以下研究。

我先設一個任意正整數為a，則有a=a×1

10×10，記為⑥式。

在⑥式左右兩邊同時除以2，則有a÷2=a×1

10×10÷2=a×1

10×5。

在⑥式兩邊同時除以5，則有a÷5=a×1

10×10÷5=a×1

10×2。

看，任意一個正整數除以2時就等于這個數縮小10倍再放大5倍，所得的值不可能是無限小數。同理，任意一個正整數除以5時就等于這個數縮小10倍再放大2倍，也不可能得到無限小數。所以，當分母只包含2和5，或者若干個2和若干個5的乘積時，這個分數都不可能化成無限小數。

我們還可以這樣理解。在除法中，如果除數是2或者5，或2n、5n等這些數時，它們總會被十分位、百分位、千分位上含有0的數約掉，但3，6，7，9，11等數則無法被約掉，最后就變成無限小數了。

以上就是我對無限小數的診斷結果，大家覺得我這個“數學醫生”是否稱職？

指導老師 廖 寬

陳思怡? 5月3日? 15：47：35

羅逸真是華佗再世！通過你的診斷結果，我一下子就明白了分數為什么會變成無限小數。但為什么還要再分為無限循環小數和無限不循環小數呢？統稱為無限小數不就行了嗎？請“神醫”在線解答！

劉秋月? 5月3日? 15：59：01

有理數是整數和分數的統稱，其中無限循環小數是有理數。而無理數代表不能寫作兩個整數之比的小數，也就是無限不循環小數。兩者所屬的集合不同，所以有時候需要單獨分開談。

高福奧? 5月3日? 16：30：21

原來數學也和我們班里一樣，有不少不安分的“刺頭”，并不都是性質相同的“乖寶寶”，這讓我更加喜歡上了數學這個大家庭。