天平砝碼對對碰

邵勇

到了發工資的日子，馬小愉快地來到老板辦公室，準備領工資。可是老板以面粉廠效益不好為由，想拖欠馬小的工資。想領工資也可以，老板說馬小得解決一個難題，才會給他發放工資。

為了滿足不同客戶的需求，你需要把廠里的面粉打包成不同規格的袋裝面粉，質量分別是1 kg，2 kg，3 kg，……即千克數是從1開始的連續正整數。一定得是連續的，不能出現1 kg，2 kg，4 kg這樣不連續的情況。

老板，我可以用廠里的面粉測量儀嗎？

當然不可以，那個儀器很貴的，被你搞壞了怎么辦？我私人贊助你1架天平和30個砝碼吧。這些砝碼的質量剛好都是1 kg的整數倍，夠你用了。不過，用的砝碼越少越好，多用的話會影響你的工資。而且你還不能用裝好的面粉或者其他等質量的物品代替砝碼，也不能通過混合裝好的面粉得到其他質量的面粉。

初次嘗試

老板的要求真是苛刻。為了能拿到工資，馬小開始努力思考起來。要不，我先嘗試2個砝碼能稱出多少種規格的袋裝面粉吧。這樣想著，馬小拿起了1 kg和2 kg的砝碼。

馬小先在天平左側放上1 kg砝碼，然后在天平右側放上空袋子，一點點往袋子里加入面粉直至天平平衡，得到了1 kg裝的面粉。同樣地，在天平左側放2 kg砝碼，重復上述操作就可以獲得2 kg裝的面粉。

那3 kg裝的面粉是怎么獲得的呢？這個很簡單，只需在天平左側同時放上1 kg和2 kg這2個砝碼即可。至此，馬小用2個砝碼，獲得了3種規格的袋裝面粉：1 kg裝，2 kg裝和3 kg裝。但是，馬小想要讓砝碼的利用率達到最高。有沒有可能換用另外2個砝碼，得到3種規格以上的袋裝面粉呢？他嘗試選取1 kg和3 kg這2個砝碼，然后發現可以用它們稱出4種連續質量的袋裝面粉：1 kg裝，2 kg裝，3 kg裝和4 kg裝。

那馬小是怎么利用這2個砝碼稱出2 kg裝的面粉的呢？這就要依靠數學的方法了。根據數量關系“ 3-1=2”，我們在天平左側放上3 kg砝碼，再在天平右側放上1 kg砝碼和空面粉袋，最后在袋中一點點加入面粉，直至天平平衡。

馬小又有了新的主意。如果選取2 kg和3 kg這2個砝碼，是否可行呢？這樣可以得到1 kg（1=3-2）裝，2 kg裝，3 kg裝，5 kg（5=3+2）裝的面粉，但是得不到4 kg裝的面粉。這4種袋裝面粉的質量是不連續的，不符合老板的要求。接著，馬小還用了1 kg和4 kg這2個砝碼，卻得不到2 kg裝的面粉。于是，馬小最終得出這樣的結論：

在只允許用2個砝碼的情況下，要想獲得從1 kg開始且盡量多的連續正整數的千克數的袋裝面粉，用1 kg和3 kg這2個砝碼是最好的選擇，可以得到1 kg裝，2 kg裝，3 kg裝和4 kg裝這4種袋裝面粉。

再加一個？

有了剛剛的小成就，馬小開始繼續研究3個砝碼的情況。如果第一個和第二個砝碼是1 kg和3 kg，那么第三個砝碼是多少kg呢？剛剛用1 kg和3 kg這2個砝碼得到的最大質量是4 kg，那么接下來想要得到5 kg裝的袋裝面粉，馬小應該怎么做？

一開始馬小用減法增大了面粉的質量，從而增加了袋裝面粉的規格種數。所以，接下來馬小想通過“9-4”得到5 kg裝的面粉。于是，他選的第三個砝碼質量為9 kg。這樣，通過減法可以得到5 kg（5=9-4），6 kg（6=9-3），7 kg（7=9+1-3），8 kg（8=9-1）這4種規格的袋裝面粉，當然9 kg裝的面粉也可以輕松獲得。這時，有的小伙伴可能會問：10 kg不是更大嗎，那用10 kg砝碼替代9 kg砝碼行不行？這是不行的，因為10 kg減去最大的4 kg得到的是6 kg裝的面粉，減去更小的3 kg，2 kg或1 kg，更不可能得到5 kg裝的面粉，這時面粉的質量就不連續了。

其實，選取9 kg作為第三個砝碼還有別的好處。只用1 kg和3 kg這2個砝碼，可以稱得質量分別為1 kg，2 kg，3 kg和4 kg的袋裝面粉。那么，有了9 kg這個砝碼后，還可以稱出10 kg（10=9+1）裝，11 kg（11=9+3-1）裝，12 kg（12=9+3）裝和13 kg（13=9+3+1）裝這4種規格的袋裝面粉。當3個砝碼全都放在天平左側時，13 kg已是可稱得的最大質量了。

目前已經可以稱出13種規格的袋裝面粉了。馬小還想繼續稱出14 kg裝的面粉。“14”可以通過減法“27-13”得到，所以，他選取的第四個砝碼就是27 kg。這時，4個砝碼的質量分別是：1 kg，3 kg，9 kg和27 kg，可稱得的最大質量是1+3+9+27=40（kg）。大于13 kg又小于40 kg的質量可以通過 “加減法”獲得。

比如，要稱19 kg的面粉，馬小可以先在天平左側放上27 kg的砝碼。根據27-19=8，馬小還得在天平右側加上8 kg的砝碼，“8”可以通過“9-1”得到，即先在天平右側放9 kg砝碼，再在左側放1 kg砝碼。待右側加上19kg面粉時，天平平衡，總的平衡式為27+1=19+9。

有趣的規律

馬小總結了在這幾次稱重中所用到的砝碼質量，分別是：1，3，9，27，……而這串數字有一個奇妙的規律：

30，31，32，33，……

這是一個等比數列，即從數列的第二項起，每一項與它前面一項的比值是一個常數。這個常數稱為公比。

照此規律，若用6個砝碼，則這6個砝碼的質量分別是：1，3，9，27，81，243。這些砝碼可以稱出從1 kg開始，一直到364 kg為止的連續正整數千克數的364種袋裝面粉。而且，砝碼的個數、質量與面粉規格種數有如下的遞推關系。

最終，馬小順利解決了老板拋出的難題，領到了工資。馬小還利用總結出的規律，多次成功地應付了老板的刁難。