如何證明不等式

李欣 謝春暖

在學習中，我們經常會遇到不等式證明問題.此類問題─般側重于考查同學們的邏輯推理和綜合分析能力.證明不等式的方法有很多種，如構造函數法、基本不等式法、比較法、綜合法、放縮法等.本文重點談一談證明不等式的三種常用方法：比較法、綜合法、放縮法.

一、比較法

比較法常用于證明不等式以及比較兩個數的大小.比較法主要有兩種：作商比較法和作差比較法.在運用比較法證明不等式時，需首先觀察不等式左右兩邊的式子，若兩邊的式子為多項式，可采用作差比較法來求證;若為單項式，可采用作商比較法進行證明.然后，將左右兩邊的式子作差或作商，將所得的差與0比較，商與1比較.

例1.已知正數a，b，c成等比數列，證明： a2-b2 +c2≥（a-b+c）°.

證明：將不等式兩邊的式子作差得：a2-b+c2-（a -b+c）= 2（ab-ac-b +bc）=2b（a-2b+c），

. a.b，c成等比數列，.. a-2b+c=（a - c）o，.. 2b（a - 2b+c）=2b（√a -√c）=0 ，

即a-b+c2≥（a-b+c） .

在運用作差比較法證明不等式時，若A-B>0 ，則A>B ;若A一B<0 ，則A<B .在運用作商比較法證明不等式時，對于同號的A、B，若A>1 ，則A>B ;若B1，則A<B.

二，綜合法

綜合法適用于證明一些形式較為復雜的不等式.綜合法是指由題目的已知條件出發，根據不等式的基本性質，利用相關的定理、公式等進行分析、推理，直至證明不等式成立.運用綜合法證明不等式的一般思路是：①結合不等式的基本性質等對原不等式進行整理、變形;②根據已知條件和不等式的基本性質進行合理的分析和推理，最后證明不等式成立.

例2.已知a，b，c e（0，+o），證明： a8+b+c≥ab c+abc3+ a2bc3 .

證明：由題意可知，a，b，c e（0，+ oo） ，

則3a°+3b +2c≥aR+a3+a+b3+b+b+c *+ c 8%（a）（6）（c"） =8ab'b ，

同理可得：3a8+2b3+3c8≥8a bc3，2a8+ 3b8++3c8≥8a2bc，

將上述三式相加得：8a3+8b8+8c8≥8a bc2+a b c+8a2b c，

化簡得： a8+b+c≥ab c+a'b c'+a'bc，因此，原不等式……