巧裂項,妙求和

繆桂林

裂項相消法是求解數列求和問題的常用方法.該方法主要適用于求解通項公式為分式的數列求和問題.在運用裂項相消法求數列的和時，通常要先將數列的通項公式裂為兩項之差的形式，這樣，數列中的前后項或前后幾項能夠相互抵消，化簡和式，求得數列的前n項和.運用裂項相消法求數列的和的關鍵在于對數列的通項公式進行合理的裂項.下面結合實例來談一談如何巧妙裂項，運用裂項相消法求數列的和.

例1.已知數列{a}中， a，=1 ，前n項和為S.，且lgs，lgn，lg為等差數列，令6n=n，求數列{b}的前n項和Tn.

解：

對于形如（a- 1）a n=an+l—an的通項公式，在運用裂項相消法解答數列求和問題時，應考慮將通項公式變形為的形式，然后通過抵消部分項得到數列的和.

例3.等比數列{a}的各項均為正數，且2a+3a，=1，a=9aza。，設bn=log，a， +log;a，+……+ log;an，求數列的前n項和.

解：

對于含有對數式的數列，求其前 n 項的和式，可根據對數的運算性質對通項公式進行裂項，如loga? an? =logaan +1-logaan ，這樣數列中的部分項就能相互抵消，和式就能簡化.

例4.設各項均為正數的數列an的前 n 項和為 Sn ，已知數列Sn是首項為1、公差為1的等差數列，令 bn =，求數列bn的前 n 項和 Tn .

解：∵數列Sn是首項為1、公差為1的等差數列，

∴ =1+n -1=n ，即 Sn =n2，

∵當 n =1時，a1=1;

當 n ≥2時，an =Sn -Sn -1=2n -1，

∴ an =2n -1，n ∈ N?，

∴數列bn的前 n 項和 Tn 為 -1.

當遇到形如+ 、+ 的通項公式時，可通過分母有理化來進行裂項，即????? =- 、 =-，這樣數列各項的分母中就不會含有根式，且含有根號的式子便會通過正負相加抵消.

例5.設數列an，其前 n 項和 Sn =-3n2，bn為單調遞增的等比數列，b1b2b3=512，a1+b1=a3+b3.

（1）求數列an， bn的通項公式.

（2）若cn =bn -2 nbn -1，求數列cn的前 n 項和 Tn .

解：（1）略;

（2）由（1）可得 bn =b2?2n -2=2n+1，

所