有界廣義GMM和無閾值遞歸圖的特征提取方法及應用

趙心陽，肖 涵，2，呂 勇，2

（1.武漢科技大學機械自動化學院，湖北 武漢 430081；2.武漢科技大學冶金裝備及其控制教育部重點實驗室，湖北 武漢 430081）

1 引言

齒輪傳動廣泛應用于機械設備中，但由于工況的復雜多變，齒輪自身也容易發生故障，統計表明，在齒輪箱的全部零件中，齒輪自身失效引起的設備故障約占全部故障的60%［1］，因此針對齒輪故障診斷方法的研究一直是近年來的熱點。齒輪振動信號更多的表現出非線性、非平穩特征是普遍共識［2］，學者往往將振動信號的非線性特征，如Lyapunov指數、分形維數、熵等用于故障診斷，取得一定的效果［2-3］。但由于振動信號通常信噪比較低，而上述參數對噪聲較敏感，導致其作為特征量時，故障識別精度不高。

遞歸性是動力學系統的基本屬性之一，1987年Eckman基于相空間重構理論提出遞歸圖（Recurrence Plot，RP）分析方法［4］，用以從遞歸圖的內部層狀結構揭示時間序列的復雜性和可預測性，包括傳統閾值遞歸圖（Thresholded Recurrence Plot，RP）和無閾值遞歸圖（Un-Thresholded Recurrence Plot，URP）。為了解決遞歸圖分析方法無法定量描述動力學特性等問題，文獻［5-6］提出傳統閾值遞歸圖特征提取方法-遞歸定量分析（Recurrence Quantifica?tion Analysis，RQA）。通過研究遞歸點的分布規律，研究者已提出的遞歸參量已達20余種，且已應用于設備故障診斷領域。但遞歸參量的選擇往往由研究者主觀確定，且故障識別精度有待提高。由于URP中遞歸點間的距離參數被保留下來，因此對于同一時間序列，URP 中往往包含比RP 更多的信息量，近年來針對URP 的研究逐漸成為熱點。2018年，文獻［7］提出利用URP 分析方法檢測絕緣電力電纜因熱老化引起的劣化程度。文獻［8］根據URP中的歐式距離分布提出了一種基于無閾值遞歸矩陣的檢測器，用于檢測噪聲環境中信號的出現。但上述研究均是從定性角度分析，無法定量描述URP，限制了其應用。這里提出一種采用有界廣義高斯混合模型（BGGMM）進行URP特征提取的方法，用于URP的定量分析，并應用于齒輪故障分類。

2 算法

2.1 無閾值遞歸圖

遞歸圖作為時間序列中重復模式的圖形表示，是分析時間序列周期性、混沌性以及非平穩性的一個重要方法［2］。算法流程如下：

（1）對于一維時間序列xi(i=1，2，3，…N)，經相空間重構后，得到高維相空間：

式中：Nd=N-(d-1)τ，τ—延遲時間；d—嵌入維數。

（2）對于相空間中的軌跡x→i(i=1，2，…Nd，x∈Rd)，無閾值遞歸圖定義為：

式中：‖ ?‖—向量范數，常用范數包括1-范數，2-范數和∞-范數，這里采用∞-范數；與傳統閾值遞歸圖不同，無閾值遞歸圖由于沒有閾值ε的限定，其遞歸矩陣Ri，j(unthres)—相空間中兩個向量x→i和x→j之間的歐式距離。

2.2 有界廣義高斯混合模型

基于高斯分布的混合模型一直都是研究的熱點，廣泛應用于模式識別、圖像處理和故障診斷等領域。其中高斯混合模型（GMM）［9］是應用較多的混合模型之一，但由于其具有奇異性，即樣本數不足時參數估計會更加困難，從而導致算法發散。為解決GMM 的不足，學者提出更具魯棒性的廣義高斯混合模型（GGMM）［10］。相較于傳統GMM，GGMM 嵌入額外參數λ用以控制擬合曲線尾部凸起與否，因此可適應更多類型數據。但是上述混合模型都未考慮數據邊界問題，當數據存在支撐邊界時，將導致參數估計存在較大的偏差。因此文獻［11］2014年提出有界廣義高斯混合模型（BGGMM）用以擬合高斯分布和非高斯分布數據，并考慮數據的邊界問題，近年來廣泛用于模式識別等領域。文獻［12-13］成功將BGGMM 應用于視頻和圖像降噪以及圖像分割領域。文獻［14］結合獨立分量分析方法（ICA）和BGGMM成功實現對關鍵字進行無監督識別。

2.2.1 算法簡介

高斯混合模型（GMM）是單高斯概率密度函數的延伸，廣泛應用于模式識別、圖像處理、故障診斷［6］等領域。

K個分量的GMM，其定義為：

式中：Θj—模型參數，ωj作為混合權重系數，滿足ωj≥0。

式中：μj和σj—混合模型中的均值和方差，參數λj控制該分布的尾部凸起與否；Γ(?)—伽馬函數。值得提出的是，GMM 和GGMM是BGGMM的特殊情況：當λj=2，H(xi|Ωj)=1時，式（4）可表示為GMM的概率密度函數；當H(xi|Ωj)=1時，表示為GGMM的概率密度函數。

2.2.2 參數估計

期望最大化（Expectation-Maximum，EM）算法在統計學中廣泛被用于參數的最大似然估計，同時也是基于高斯分布的混合模型中常用的參數估計方法［15］。EM算法以迭代的形式實現最大似然函數的最大化，包括E-Step 和M-Step，在這里所應用的BGGMM中，最大似然函數定義如下：

為了最大化式（8），采用其負數方程作為誤差方程，此時最大化似然函數即等效為最小化誤差式（9），誤差方程定義如下：

在E-Step中，后驗概率定義為：

在M-Step 中，根據式（10）得出的后驗概率更新模型參數如下：

其中：

式中：γ—比例因子—從混合模型特定組分j的廣義高斯分布中提取的隨機變量；M—大正整數；當x≥0時，sign(x)=1，否則sign(x)=0。

最后，對式（9）中的誤差函數進行評估，檢查收斂準則。若不滿足收斂條件，則從E-Step重新開始下一次迭代，直到滿足收斂準則為止。

3 URP統計定量分析

無閾值遞歸圖（URP）可以檢測遞歸點之間距離的微小變化，而如果這些變化小于預定義的截止距離，則在RP中無法檢測到。因此，URP中的模式可以比RP提供更多的信息。為了從統計學角度量化URP，這里提出采用BGGMM進行URP統計定量分析方法，算法流程如下：

（1）輸入時間序列x(t)；

（2）通過式（1）和式（2）經相空間重構獲得無閾值遞歸矩陣Ri，j(unthres)，然后將遞歸矩陣中值的直方圖進行歸一化處理；

（3）初始化模型參數Θ=(ωj，μj，σj，λj)；

（4）通過式（10）式（14）迭代更新模型參數Θ；

（5）檢測迭代收斂準則。若不滿足，返回步驟（4）繼續迭代，直至滿足條件，迭代停止；

（6）輸出均值和方差，組成特征向量(μ，σ)，對URP進行定量描述。

本節中，為了驗證該方法的有效性，利用兩組仿真信號進行分析。（1）周期信號：x(t)=sin(2π10t)；（2）Lorenz信號：

周期信號和Lorenz信號的時域波形圖、對應的URPs以及歸一化后的歐式距離分布直方圖，如圖1所示。從圖1可看出，正弦周期信號URP的遞歸點沿主對角線平行或垂直分布，而混沌信號URP中出現大量平行與主對角線的線段。其對應的分布直方圖近似服從于高斯分布，所不同的是，圖1（a）中的直方圖明顯存在數據邊界，數據也更加分散；圖1（b）中，數據更接近于高斯分布，且相對集中，這表明原始信號存在差異。經BGGMM擬合（K=1），提取均值分別為1.45和1.92，方差分別為7.04和1.91，提取的均值和方差均存在差異，其中方差存在較大的差異也解釋了直方圖數據的集中程度的不同，這表明混合模型的參數可作為URP的定量分析指標。

圖1 仿真信號時域圖及其對應的URPs和歐式距離分布直方圖Fig.1 Time-Domain Plot and their URPs as well as the Euclidean Distance Distribution Histogram of Simulate Signals

4 齒輪故障分類識別實驗

這里將該方法應用于齒輪故障的分類，提出的齒輪故障分類算法的流程圖，如圖2所示。

圖2 齒輪故障分類算法的流程圖Fig.2 The Flowchart of Fault Classification Algorithm

4.1 實驗裝置

為了驗證所提方法的有效性，通過齒輪故障實驗臺采集不同齒輪狀態下的振動信號，實驗臺及其結構簡圖，如圖3 所示。實驗臺包括550w（220V-50Hz）電機，帶有一對嚙合齒輪的齒輪箱，聯軸器和磁粉制動器。其中，電機的轉速和負載在（300～1217）r/min和（0～20）N·m范圍內變動；小齒輪的齒數為20，大齒輪37，模數均為3；振動信號由安裝在輸入軸承座的垂直方向上的加速度傳感器采集。

圖3 齒輪故障實驗臺及其結構簡圖Fig.3 Gear Failure Test Table and its Structure Diagram

4.2 時域信號及無閾值遞歸圖

采用上述實驗臺，分別采集四種齒輪狀態的振動信號各100組，采樣頻率10kHz，采樣時間0.1s。四種齒輪故障狀態的時域信號波形圖及其對應的URP，如圖4、圖5所示。原始信號不進行降噪處理，采用虛假鄰域法確定嵌入維數d=4，平均互信息算法［16］確定延遲時間τ=4。

圖4 四種齒輪狀態時域波形圖Fig.4 Time-Domain Signals of Four Gear States

圖5 四種齒輪狀態的無閾值遞歸圖Fig.5 Un-Thresholded Recurrence Plots of Four Gear States

從時域波形圖看，原始信號摻雜噪聲較多，無法直接從原始時域信號區分四種齒輪故障狀態；從URP中看出，遞歸圖中的遞歸點主要呈垂直分布，動力學系統所決定。

4.3 故障識別結果及對比

無閾值遞歸圖中，向量之間的歐式距離大小由顏色深淺不一的遞歸點映射在圖像中，如圖5 所示。四種齒輪故障模式下的URP 顏色深度不同，表明遞歸點的歐式距離分布存在差異。應用BGGMM 擬合URP 中遞歸點歐式距離分布直方圖，并提取均值和方差組成特征向量(μ，σ)用以齒輪的故障分類。分別以均值(μ)和方差(σ）為橫縱坐標繪制，如圖6 所示。由圖6 可以看出，四種齒輪故障狀態下的振動信號特征向量的分布存在較大的差異，除了斷齒和周節兩種狀態存在少量重疊外，四種故障齒輪的特征向量基本完全被分開。

圖6 BGGMM提取的特征向量分布情況Fig.6 Distribution of Feature Vectors Extracted by BGGMM

為了驗證該方法的有效性，將所采集的各齒輪故障狀態數據按1：1的比例分為訓練數據和測試數據，即前50組數據用于訓練，后50組數據用于測試，建立高斯混合模型，應用貝葉斯最大似然分類器進行分類。并與傳統RQA的10種遞歸定量［16］（RR、DET、L、Lmax、ENTR、LAM、TT、Vmax、T1/T2）作為特征向量時的識別率進行比較，結果如表1所示。

表1 URP定量分析和傳統RQA方法的識別率Tab.1 Identification Rates of URP Quantitative Analysis and Traditional RQA Methods

從表1可以看出，基于BGGMM的URP定量分析方法的識別率明顯高于傳統RQA方法，四種齒輪故障狀態的識別率均高于90%，其中對齒輪正常狀態的識別率較高，達到100%。對于齒輪磨損和正常兩種狀態，較傳統RQA 方法分別提高10%和26%。表明這里所提出的齒輪故障分類方法具有一定的優勢。

5 結論

近年來，遞歸定量分析廣泛應用于故障診斷等領域，但其診斷精度有待提高，此外，目前缺乏針對無閾值遞歸圖定量分析的有效方法。這里提出一種采用BGGMM進行URP特征提取的方法，用于定量分析URP，并成功應用于齒輪的故障分類中。實驗結果顯示，與傳統的RQA方法相比，該方法在齒輪故障識別方面具有更好的性能和更高的分類精度。

所提方法是從模式識別的角度，對無閾值遞歸圖的一種統計定量分析方法，將遞歸矩陣中歐式距離的分布直方圖的統計參數作為定量分析指標。但提出的定量指標所對應的動力學特征還需進一步研究，此外，研究其它的統計學參數作為定量分析指標也是后續的研究內容。