方差性質的應用及拓展

?甘肅省天水市秦安縣第二中學 任亞麗

1 方差的性質

由方差定義公式，容易得出方差的兩條性質.

性質1：S2≥0，即任何一組實數的方差都是非負實數．

性質2：當且僅當x1=x2=…=xn時，S2=0，即若一組實數數據的方差為零，則該組每個數據均相等，且都等于該組數據的平均數．

運用這兩個性質和方差計算公式，常可幫助我們快捷解決一類與之相關的問題．

2 方差性質的應用

2.1 求值

例1已知x+y=8，xy-z2=16，求x+y+z的值．

所以x，y的方差為

由性質①，得-z2≥0，所以z2≤0.

z2=0，即z=0，所以s2=0.

由性質②，得x=y=4.所以x+y+z=4+4+0=8．

2.2 求最值

2.3 證明不等式

證明：設x2+y2+z2=ω，由方差公式，得x,y,z的方差為

2.4 證明等式

例4已知實數a,b,c滿足a=6-b，c2=ab-9，求證：a=b．

證明：由已知得a+b=6,則

a2+b2=36-2ab=36-2(c2+9)=18-2c2.

由方差公式，得實數a,b的方差為

因為s2≥0，所以-c2≥0.

所以c=0，因此s2=0，則a=b.

2.5 解方程

則x=a2，y=b2+1，z=c2+2，原方程可化為4(a+b+c)=a2+b2+c2+12.

所以a2+b2+c2=4(a+b+c)-12.

因為s2≥0,所以(a+b+c-6)2≤0.因此a+b+c=6.于是s2=0,a=b=c=2.

所以x=4,y=5,z=6.經檢驗，x=4,y=5,z=6是原方程的解.

2.6 判斷三角形形狀

例6設△ABC的三邊a,b,c滿足：b+c=8，bc=a2-12a+52，試問△ABC是什么三角形(按邊分類)？并證明你的結論.

解：△ABC為等腰三角形，證明如下：

由已知得b2+c2=64-2bc=-2a2+24a-40.

由方差公式,得b,c的方差為

因為S2≥0，所以-(a-6)2≥0，即a=6，于是S2=0.

所以,b=c=4.

故△ABC是以a為底，以b,c為腰的等腰三角形.

3 引伸與推廣

證明：n個數a1,a2,a3,…,an的方差為

因為S2≥0，所以

該定理反映了“n個數的平方和”與“n個數的和的平方”之間的內在聯系.

證明：由定理知

4 結語

由上面幾道例題我們可以知道，方差中的大多數問題都是利用方差大于零或者是方差等于零時建立等式與不等式(即方差的非負性)來作為突破口解決的.方差性質的運用往往能使同樣的一道題由繁變簡，由難變易，并能快速求解.