研題四部曲“來(lái)路—思路—出路—套路”
——一道最值題的突破

?福建省石獅市第三中學(xué) 林燕峰

1 引言

老子《道德經(jīng)》的二十八章：知其雄，守其雌，為天下谿；……知其白，守其黑，為天下式；……知其榮，守其辱，為天下谷.

在數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)，以及數(shù)學(xué)解題研究過(guò)程中，我們提取相關(guān)問(wèn)題的精華，嘗試做到數(shù)學(xué)解題研究過(guò)程中的“四部曲”——來(lái)路、思路、出路、套路.

2 問(wèn)題“來(lái)路”

此題以雙變量所滿足的二次方程(圓的一般方程形式)為背景，結(jié)合含根式的分式代數(shù)式的最值的確定與求解來(lái)合理創(chuàng)設(shè)代數(shù)問(wèn)題，從代數(shù)的“數(shù)”的角度來(lái)巧妙創(chuàng)新與設(shè)置，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”之間的合理轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

3 尋找“思路”

思路一：解析幾何思維.

圖1

解后反思：根據(jù)問(wèn)題的平面解析幾何背景，直接通過(guò)平面解析幾何中的相關(guān)知識(shí)來(lái)切入與轉(zhuǎn)化，是解決此類問(wèn)題最直接、最常用的基本方法之一.結(jié)合代數(shù)式的形式特征，通過(guò)點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)間的距離公式等來(lái)轉(zhuǎn)化，“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合，直觀形象確定相應(yīng)的最值，可以達(dá)到非常不錯(cuò)的解題效果.

圖2

思路二：平面向量思維.

解后反思：根據(jù)所求代數(shù)關(guān)系式的形式特征，合理聯(lián)想到平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式，是利用該方法求解代數(shù)式最值的關(guān)鍵所在.平面向量的數(shù)量積公式具有非常特殊的形式，在解決一些相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，形式與其類似或接近時(shí)，經(jīng)?？梢圆捎脴?gòu)建合理的平面向量，通過(guò)平面向量的數(shù)量積加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，從而解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題.

思路三：三角函數(shù)思維.

解后反思：根據(jù)條件中的代數(shù)關(guān)系式加以合理變形與轉(zhuǎn)化，引入三角函數(shù)利用三角換元來(lái)處理，巧妙結(jié)合題目條件確定三角參數(shù)的取值限制，進(jìn)而利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)確定對(duì)應(yīng)的最值問(wèn)題，這也是求解代數(shù)式最值時(shí)比較常用的一類技巧方法.三角換元的求解關(guān)鍵就是合理引參，巧妙轉(zhuǎn)化，構(gòu)建正弦型或余弦型三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決.

4 拓展“出路”

探究1：根據(jù)原問(wèn)題及其解析過(guò)程，通過(guò)相應(yīng)代數(shù)式的最大值的確定，自然而然想到確定對(duì)應(yīng)代數(shù)式的取值范圍問(wèn)題，從而得到以下對(duì)應(yīng)的變式問(wèn)題.

解后反思：除了借助平面向量的數(shù)量積公式法來(lái)解決以上變式問(wèn)題，還可以參照原問(wèn)題的解析幾何思維與三角函數(shù)思維等來(lái)解決該變式問(wèn)題，關(guān)鍵是討論對(duì)應(yīng)代數(shù)式取得最小值與最大值這兩個(gè)極端值時(shí)的成立條件，這里就不多加以敘述了.

5 總結(jié)“套路”

涉及代數(shù)式的最值或取值范圍的確定問(wèn)題，解決問(wèn)題的主要“套路”可以總結(jié)為以下兩種：

(1)“數(shù)”視角切入.利用代數(shù)思維，從函數(shù)與方程、不等式、三角函數(shù)等視角來(lái)轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，結(jié)合相應(yīng)的知識(shí)進(jìn)行合理的代數(shù)運(yùn)算、邏輯推理，從而得以分析與處理，確定對(duì)應(yīng)代數(shù)式的最值或取值范圍問(wèn)題.

(2)“形”視角切入.利用代數(shù)式的幾何意義，化“數(shù)”為“形”，利用幾何思維，從平面幾何圖形、解析幾何圖形以及立體幾何圖形等直觀圖形及其對(duì)應(yīng)的幾何意義視角來(lái)直觀想象，轉(zhuǎn)化為相關(guān)點(diǎn)、直線、曲線、平面等之間的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合來(lái)分析與處理，確定對(duì)應(yīng)代數(shù)式的最值或取值范圍問(wèn)題.

在以上“數(shù)”或“形”等不同視角切入時(shí)，巧妙轉(zhuǎn)化問(wèn)題，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、基本不等式等重要不等式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、平面幾何的直觀圖形等“數(shù)”或“形”知識(shí)來(lái)綜合與應(yīng)用，合理數(shù)學(xué)建模，掌握通技通法，不斷深入挖掘，剖析研題“四部曲”——來(lái)路、思路、出路、套路，提升解題效益，跳出“題海戰(zhàn)術(shù)”，從而全面提升思維品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).Z