妙解排列組合里的涂色問題

?江蘇省江安高級(jí)中學(xué) 肖雄偉

1 一分步，二分類

對(duì)于某些不復(fù)雜的涂色問題，使用分步計(jì)數(shù)原理處理會(huì)更加簡(jiǎn)便.如果題目所給的條件比較多的時(shí)候，此時(shí)就應(yīng)該以題目的已知條件為依據(jù)，把分步計(jì)數(shù)原理和分類計(jì)數(shù)原理結(jié)合起來進(jìn)行求解.在實(shí)際情況中，要牢記優(yōu)先處理有特殊要求的色塊.解題步驟為首先處理特殊的色塊，再依據(jù)實(shí)際情況，如果附加要求多，那就先使用分步計(jì)數(shù)原理，再使用分類計(jì)數(shù)原理解答；如果是不難的涂色問題，就可以直接運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理解題.

圖1

例題1假設(shè)中國(guó)的某一個(gè)省由5個(gè)市區(qū)組成，這個(gè)省的市區(qū)分布如圖1所示，現(xiàn)給地圖上色，要求相鄰區(qū)域使用的顏色不能相同，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，那么不同的上色方法一共有種.

分析：這個(gè)題目與很多題目都有相似的地方，但是圖形是有變化的，因此就需要學(xué)生有較強(qiáng)的觀察能力和分析能力.分析發(fā)現(xiàn)，市區(qū)1與其他市區(qū)不一樣，它跟另外的四個(gè)市區(qū)都是相鄰的，被其他四個(gè)市區(qū)包圍著.因此在解答題目的時(shí)候，需要優(yōu)先考慮分步計(jì)數(shù)的方法，即首先將市區(qū)1涂上顏色，那么市區(qū)1就有4種選擇方法，再利用分類計(jì)數(shù)的方法，當(dāng)市區(qū)2和市區(qū)4的顏色一樣的時(shí)候，就有3種上色方法，那么總的上色方法就有4×3×2×2=48種；當(dāng)市區(qū)2和市區(qū)4的顏色不一樣的時(shí)候，優(yōu)先給市區(qū)2上色的方法有3種，此時(shí)市區(qū)4就有兩種上色方法，那么市區(qū)3和市區(qū)5就只有一種上色方法，因此此時(shí)上色的總方法數(shù)為：4×3×2×1×1=24種.所以，一共有24+48=72種上色方法.

圖2

推廣1如圖2，用4種不同顏色給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)都要涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同的顏色，則不同的涂色方法有種.

2 一分類，二分步

對(duì)于某些較為復(fù)雜繁瑣的涂色問題，就需要首先以使用顏色的種類為依據(jù)進(jìn)行分類，特別是不同的題目對(duì)于要求使用顏色的種類也不一樣.當(dāng)題目中出現(xiàn)要求三種顏色時(shí)就需要進(jìn)行分類計(jì)數(shù)，如果沒有出現(xiàn)最多使用三種顏色的要求，那么問題就更復(fù)雜了，還需要做深入的思考和處理，分類計(jì)數(shù)原理是處理此類復(fù)雜問題的首要方法.即解題步驟為首先分析題目要求的用色的種類，要求有最多使用三種顏色的就可以進(jìn)行分類，如果沒有最多三種顏色這個(gè)條件的要求，那么需要再思索.一般來說，中學(xué)階段出現(xiàn)后面這種情況的題型很少.

圖3

例題2

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分析：分析題目信息可以知道，此題與例題1有共同的特點(diǎn)，就是結(jié)合使用分步和分類的方法來解題，但它明顯比例題1復(fù)雜得多.因此對(duì)于此題應(yīng)該首先以使用顏色的種類為依據(jù)來進(jìn)行分類，這樣就會(huì)簡(jiǎn)便許多，出錯(cuò)的幾率也會(huì)相應(yīng)減小.分類方式有兩種：

因此，一共有30+360=390種上色方法.

圖4

推廣2在一個(gè)正六邊形的六個(gè)區(qū)域內(nèi)栽種觀賞植物，如圖4，要求同一塊區(qū)域內(nèi)栽種同一種植物，相鄰的兩塊區(qū)域種植不同的植物，現(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，則有種種植方案.

分析：對(duì)問題所給條件分析，不難發(fā)現(xiàn)解答該問題需要使用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理.以種植植物的種類個(gè)數(shù)為依據(jù)計(jì)算，進(jìn)而求解具體種植方案仍具有一定難度.應(yīng)考慮局部分類法，即以不相鄰區(qū)域的種植植物種類個(gè)數(shù)為分類依據(jù)，進(jìn)一步計(jì)算種植方案.則該問題可以分為三類情況：

所以，一共有種植方案108+432+192=732種.

在此，通過以上對(duì)范式理論和集約相關(guān)理論的研究探討，可將維修集約范式初步界定為：在資源優(yōu)化配置和有效使用的原則下,通過綜合組織、設(shè)計(jì)維修主體和維修程式，而形成的緊湊、高效、有序的維修活動(dòng)組織及可持續(xù)發(fā)展模式。維修集約范式的內(nèi)涵組成如圖1所示。其中，維修主體是實(shí)施、管理和評(píng)價(jià)維修活動(dòng)的作業(yè)單位；將維修主體開展的維修業(yè)務(wù)流程定義為維修程式，即將基于一定的維修資源,運(yùn)用一定的維修策略,在一定的維修作業(yè)地點(diǎn),對(duì)一定的維修對(duì)象開展的一系列維修活動(dòng)。

3 一平面，二空間

對(duì)于一些很難掌握的點(diǎn)線面需要涂色的立體圖形，由于相鄰的地方比較多，因此就需要先把立體問題轉(zhuǎn)化成為平面上的問題，然后再以使用顏色的種類為依據(jù)進(jìn)行分類解答.即解題步驟為首先將立體圖形轉(zhuǎn)化成為平面圖形，再根據(jù)題目情況分類，具體的分類情況由實(shí)際題目的要求決定，分類依據(jù)還是以使用的顏色種類為依據(jù)，分別進(jìn)行討論求解，最后所有情況相加就是需要求的總的情況數(shù).

例題3已知有一個(gè)四棱錐P-ABCD，如圖5所示，使用4種不同的顏色在四棱錐的每個(gè)面上上色，要求相鄰的區(qū)域顏色不同，一共有多少種涂法？

圖5

圖6

分析：分析可知，此題需要將立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形，在平面區(qū)域中涂色.如圖6所示，區(qū)域1，2，3，4等價(jià)于四棱錐的側(cè)面，區(qū)域5等價(jià)于底面.下面就以使用的顏色的種類來分類：

推廣3用6種不同顏色給三棱柱ABC-DEF的面涂色，如圖7所示，要求有公共棱的平面涂色不相同，則有多少種涂色方法?

圖7

圖8

分析：根據(jù)例題3可知，幾何體有關(guān)于平面的涂色問題，解答時(shí)通常轉(zhuǎn)化為平面圖形進(jìn)行求解.則該問題的求解思路與之類似，即將圖7的三棱柱ABC-DEF轉(zhuǎn)變?yōu)閳D8的平面圖形，以涂色顏色的種類為依據(jù)分類進(jìn)行求解，其中圖7中三棱柱的底面DEF也需要涂色.由已知條件可知，至少需要上4種顏色，具體的解題過程為：

涂色方法計(jì)數(shù)問題是目前排列組合問題的重難點(diǎn)，要學(xué)會(huì)正確的解答思路.解決此類問題的策略，首先要分析題目，然后再根據(jù)題目選擇合適的解題方法，正確使用分類和分步計(jì)數(shù)原理.對(duì)于排列組合的基礎(chǔ)知識(shí)也需要掌握牢固，避免出現(xiàn)基礎(chǔ)性的錯(cuò)誤.