平面向量在幾何中的應(yīng)用

?安徽省宣城中學(xué) 奚 婧

1.引言

平面向量作為一種基本數(shù)學(xué)工具，實(shí)現(xiàn)平面幾何問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單的平面向量運(yùn)算問(wèn)題，變抽象的邏輯推理為具體的平面向量運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的化歸與轉(zhuǎn)化，以平面向量為載體的數(shù)學(xué)試題與平面幾何知識(shí)聯(lián)系緊密，具有很強(qiáng)的時(shí)代氣息，充分體現(xiàn)平面向量在幾何中的巧妙應(yīng)用，倍受命題者的青睞．

2 位置的判定

A．10 B．11 C．14 D．15

分析：由設(shè)點(diǎn)法切入，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積、模公式等建立相應(yīng)的關(guān)系式.通過(guò)代數(shù)運(yùn)算加以合理化簡(jiǎn)與轉(zhuǎn)化，得到對(duì)應(yīng)的軌跡方程，利用滿足條件的點(diǎn)的羅列來(lái)確定滿足條件整點(diǎn)個(gè)數(shù)．

整理可得

兩邊平方，可得(x2+y2)2+12(y2-x2)+36≤(10-x2-y2)2，整理可得x2+4y2≤8.

因此有(0，0)，(0，1)，(1，0)，(-1，0)，(0，-1)，(2，0)，(-2，0)，(1，1)，(1，-1)，(-1，1)，(-1，-1)，(2，1)，(2，-1)，(-2，1)，(-2，-1)，共15個(gè).

故選擇答案：D．

點(diǎn)評(píng):利用設(shè)點(diǎn)法與代數(shù)運(yùn)算處理時(shí)，合理串聯(lián)起平面向量與幾何問(wèn)題，通過(guò)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，確定對(duì)應(yīng)的軌跡問(wèn)題，進(jìn)而確定位置關(guān)系．這里對(duì)于關(guān)系式的代數(shù)運(yùn)算比較繁雜，運(yùn)算量大，要求有比較高的代數(shù)運(yùn)算能力．

3 數(shù)值的運(yùn)算

分析：結(jié)合平面幾何的圖形特征，通過(guò)輔助線的構(gòu)建，借助三角形的外心的實(shí)質(zhì)，綜合平面向量的數(shù)量積以及直角三角形的定義加以轉(zhuǎn)化，建立兩參數(shù)的方程組，利用方程組的求解來(lái)確定相應(yīng)的參數(shù)值，進(jìn)而求解兩參數(shù)的和．

圖1

如圖1，過(guò)外心O作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E，則D，E分別為AB，AC的中點(diǎn).

=AB·AD=4×2=8；

=AC·AE=6×3=18.

故選擇答案：C．

點(diǎn)評(píng):合理利用平面向量的線性關(guān)系，結(jié)合數(shù)量積公式的應(yīng)用加以巧妙轉(zhuǎn)化.數(shù)形結(jié)合利用平面幾何知識(shí)加以化歸與轉(zhuǎn)化，這是破解此類平面向量中數(shù)值計(jì)算問(wèn)題的常見方法之一．

4 參數(shù)的確定

例3(2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬演練(八省聯(lián)考)數(shù)學(xué)·14)若正方形一條對(duì)角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為，．

分析：借助平面向量的法向量法是破解此類問(wèn)題的另一種特殊的思維方法.根據(jù)正方形中邊與角的特殊性質(zhì)，設(shè)出該正方形的兩條鄰邊所在直線的方程，結(jié)合已知直線OB的方程，分別確定對(duì)應(yīng)的法向量，利用兩直線的夾角建立向量關(guān)系式，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)參數(shù)之間的關(guān)系式，結(jié)合斜率公式確定對(duì)應(yīng)的斜率即可．

圖2

解析：以正方形的一個(gè)頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，在正方形OABC中，對(duì)角線OB所在直線的斜率為kOB=2，則直線OB的方程為2x-y=0.

設(shè)該正方形的兩條鄰邊OA(或OC)所在直線的方程為ax+by=0，則直線OA(或OC)與直線OB的法向量分別為

n1=(a，b)，n2=(2，-1).

設(shè)兩直線的夾角為θ，則

整理，得3a2-8ab-3b2=0，即(a-3b)(3a+b)=0，亦即a=3b，或3a+b=0.

點(diǎn)評(píng):平面向量的法向量法是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的交匯與轉(zhuǎn)化的另一種重要方法技巧，合理交匯出平面向量與平面解析幾何之間的聯(lián)系，也是平面向量知識(shí)應(yīng)用的另一充分體現(xiàn)．

5 最值的求解

分析：根據(jù)直觀的平面幾何圖形，通過(guò)點(diǎn)P在圓Q的左、右半圓(AQ的左、右邊部分)上的運(yùn)動(dòng)分類討論，兩次利用三點(diǎn)共線，結(jié)合平面向量的共線定理與數(shù)乘關(guān)系建立關(guān)系式，并合理化歸與轉(zhuǎn)化．

圖3

解析：如圖3所示，點(diǎn)P為圓Q上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)QP交AC于點(diǎn)D，設(shè)AC與圓Q相切于點(diǎn)P0，延長(zhǎng)P0Q交圓Q于點(diǎn)P1.

綜上分析，可知m+n的取值范圍是[-1，1].

故選擇答案：A．

點(diǎn)評(píng):借助平面向量中“形”的直觀，巧妙轉(zhuǎn)化平面幾何中對(duì)應(yīng)的關(guān)系式為線段的比值問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，直觀形象地確定相應(yīng)關(guān)系式的取值范圍或最值問(wèn)題，是實(shí)現(xiàn)平面向量中“數(shù)”與“形”轉(zhuǎn)化與化歸的一大應(yīng)用．

借助平面向量知識(shí)，把平面幾何中共線(平行)或垂直的位置關(guān)系，數(shù)值的運(yùn)算，參數(shù)的確定或最值的求解等，轉(zhuǎn)化為平面向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積等形式，合理化歸轉(zhuǎn)化，巧妙運(yùn)算破解，實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)間的滲透與拓展，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，激發(fā)創(chuàng)新思維，增強(qiáng)實(shí)踐意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用，全面提高數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．Z