化繁為簡勤探求，抽絲剝繭觸本質*

?福建省莆田第一中學 林 敏

1 引言

圓錐曲線問題常在壓軸題的位置出現，是學習的一大難點.由于其運算的復雜性與轉化的靈活性常使考生望而卻步，而且問題的轉化程度和所要面臨的運算通常成反比，即轉化程度越低，需要進行的計算就越復雜.所以在解圓錐曲線的相關問題時，不能盲目地進行低效的轉化從而踏入繁雜的運算中后“一根筋”地“硬算”，而是在開始進行運算之前，更應當仔細審視條件和結論之間的關聯，探求其內在本質，注重高效轉化，精簡計算，避免運算的繁復程度，真正實現圓錐曲線內容考查的價值和意義.

下面以新高考圓錐曲線壓軸題為例進行研究，通過不斷修正解法，以期達到精簡的水平.

2 試題背景

(Ⅰ)求C的方程；

3 問題解決

3.1 試題分析

首先，本題的整體設問以雙曲線為背景，是之前在舊高考中很少出現的情形.以往一般在小題中考查雙曲線有關的內容，多以離心率為依托，涉及雙曲線的性質和相關的代數運算，而這道題的出現打破了大題只考橢圓或拋物線的壁壘，讓人眼前一亮.

其次，本題的設問條件是線段之積相等，以往一般只涉及一條相關弦長的表示與計算，該題涉及到四條弦長，讓人頓感計算量飆升，但仔細思考又覺得別有洞天.

雖然題目的設置有很多創新之處，但該題依然保持著高考命題的穩定性.第一問考查較為常規的根據定義求圓錐曲線標準方程的問題，軌跡方程問題向來是備考中練習得比較充分的題型，學生完成起來沒有壓力，只是此題需要稍微注意下變量的范圍；第二問雖然看似是在求值，但實際上是一種圓錐曲線定值問題的證明，根據條件證明斜率之和為定值，也不會讓學生感到陌生，所以是在繼承傳統的基礎上加入了創新元素，做到了新舊高考的完美轉換與銜接，逐步體現學生的學科素養水平.

3.2 解題探索

3.2.1 問題初解

初看此題，雖覺運算可能較多，但不至于無從下手，可以從最常規的思維路徑中尋找到出路，我們來看一下常規思路對應的解決方法.

圖1

設點A(x1,y1)、B(x2,y2)，則x1≥1，且x2≥1.

在該方程判別式為正的情況下由韋達定理可得

因此，直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

3.2.2 解后反思

該常規解法把直線的斜率作為主要的運算變量，點T的縱坐標為輔助運算變量(最終結果與之無關)，利用弦長公式實現了已知條件的表達.在聯立消y的過程之中，若沒有將直線的縱截距看成一個整體進行運算的話，得到的方程的形式將會更加繁雜而且寫出韋達定理、代入計算也是比較復雜的過程，運算量較大，容易出現一定的錯誤，并不是那么容易就得出形式簡潔的結果，所以思維含量較低時就需要借助于較為復雜的計算實現問題的解決.在該解法中，若不選用弦長公式，可以選用向量的坐標運算來進行表達：

從而得到和上面一樣的結果.

3.3 解法優化

3.3.1 優化思路

當我們用上面的解法完成這個題的求解之后，總會有意猶未盡的感受，所以不應該就此結束對這道題的思考.如果能夠讓這個題的解答更漂亮些，就需要我們回頭反思在解題過程中可以優化的地方，不斷地增加思維的探求深度，這樣也更容易觸及問題的本質，通過增大思維上的含量，來降低運算的復雜度.所以有時我們不應只停留在解決一個題的層面上，更要探求如何有效地解決，以及輻射與之相關的問題.

3.3.2 初步優化

3.3.3 二次優化

由于T點既不在x軸上也不在y軸上，所以直線的方程較為繁雜，與曲線C聯立后就更顯復雜.基于簡化坐標從而簡化直線方程的視角，從這個突破口出發，可以考慮將圖形整體平移，使得T所在的直線與y軸重合，雖然曲線C的方程稍有變化，但是整體運算還是會較為簡潔的.

圖2

因此，直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

此時就和一道簡單的圓錐曲線問題無異了，在不斷的優化過程中找到了更為簡潔的方法，增加了思維含量，大大降低了運算的難度和容量，降低了出錯的可能；而從方程類型的角度，也可以繼續進行優化.

3.3.4 三次優化

前面我們從代數形式和圖形位置的角度對解法進行了優化.除此以外，若不改變圖形的整體位置，則可以考慮方程屬性的改變，即普通方程較為繁雜的時候可以考慮選用參數方程，而且由線段之積相等非常容易讓人聯想到利用直線的參數方程，由參數的幾何意義表達線段長度的積，借助于三角恒等變換獲得直線AB和PQ傾斜角之間的關系，從而得到斜率之間的關聯.

點評：該優化方法充分考慮了題目給出的條件特征，將復雜的線段長之積利用參數方程化為參數的積，建立等量關系，得到直線傾斜角的互補關系，進而得到了斜率之和為0的結論，宛若神來之筆.在新教材中，坐標系與參數方程的相關內容已經被刪去了，但是在舊高考模式下選做題之一還是重點考查的，而在本題中使用參數方程的方法能起到較好的效果，體現了新高考的兼容并包和對舊高考的致敬，新舊交替的過程中實現完美的過渡，體現了教育有改革，育人不間斷的特點，所以該題是一道比較有韻味的問題，而解決該題更是一種對美的追求和享受.

4 總結