返璞歸真 直觀想象
——立體幾何中的截面問題

?安徽省臨泉田家炳實驗中學(xué) 于飛洋

1 引言

用一個平面(或不共線的三點、兩平行直線等)去截空間幾何體，此平面與空間幾何體的交集叫做這個空間幾何體的截面.涉及立體幾何中空間幾何體的截面問題，溝通“二維”與“三維”之間的聯(lián)系，鏈接起空間幾何體中點、直線、平面等要素“動”與“靜”之間的聯(lián)系，實現(xiàn)“平面”與“立體”之間的轉(zhuǎn)化，是歷年高考數(shù)學(xué)試卷中比較常見的熱點問題之一，創(chuàng)新新穎，應(yīng)用性強，備受關(guān)注．

2 截面問題探究

2.1 截面作圖

圖1

例1如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，DD1上，求作過E，F(xiàn)，G三點的截面．

分析：從底面ABCD入手，確定直線EF與兩個側(cè)面AA1D1D和DD1C1C的交點情況，再通過連接相應(yīng)的交點與點G的連線，進一步確定相應(yīng)直線在正方體中的交點情況，從而得到對應(yīng)的截面．

圖2

作法：如圖2，①在底面ABCD內(nèi)，過E，F(xiàn)作直線EF，分別與DA，DC的延長線交于L，M；

②在側(cè)面AA1D1D內(nèi)，連接LG交AA1于K；

③在側(cè)面DD1C1C內(nèi)，連接GM交CC1于H；

④連接KE，F(xiàn)H，則五邊形EFHGK即為所求的截面．

點評:此類涉及空間幾何體的截面作圖問題，破解的關(guān)鍵就是要“心中有圖”，要求學(xué)生要有比較強的空間想象能力，結(jié)合對應(yīng)的條件加以數(shù)形結(jié)合，直觀想象．空間幾何體的截面作圖也為立體幾何中的其他截面問題的分析與處理提供理論基礎(chǔ)與條件．

2.2 截面判斷

圖3

例2(多選題)如圖3，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC1上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S．則下列命題正確的是( ).

圖4

圖5

故選擇答案：ABC．

點評:此類涉及空間幾何體的截面形狀以及相關(guān)幾何性質(zhì)的判斷問題，破解的關(guān)鍵是利用條件作出對應(yīng)的截面圖形，綜合線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)加以分析與推理，同時數(shù)形結(jié)合，直觀想象，合理確定截面幾何圖形所滿足的特征性質(zhì)，得以確定相應(yīng)的截面圖形的形狀或幾何性質(zhì)等．

2.3 截面面積

例3已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長為4，底面邊長為2，用一個平面截此棱柱，與側(cè)棱AA1，BB1，CC1分別交于點M，N，Q，若△MNQ為直角三角形，則△MNQ面積的最小值為( ).

分析：通過引入?yún)?shù)設(shè)出相應(yīng)的邊，結(jié)合正三棱柱的特征以及直角三角形的性質(zhì)，找到相關(guān)邊之間的等量關(guān)系式，借助三角形面積公式加以代數(shù)轉(zhuǎn)化得到相應(yīng)的關(guān)系式，利用代數(shù)關(guān)系式的特征，直接利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來分析．

圖6

解析：如圖6所示，不妨設(shè)點N在點B處，設(shè)|AM|=h，|CQ|=m，不失一般性，設(shè)0

則有|MN|2=h2+4，|NQ|2=m2+4，|MQ|2=(h-m)2+4.

結(jié)合判別式Δ=h2-8≥0，則有h2≥8，且h≤4，即

8≤h2≤16.

=1+h2.

因為8≤h2≤16，所以S2=1+h2∈[9，17].

故選擇答案：A．

點評:此類涉及空間幾何體的截面所對應(yīng)的面積最值問題，破解時一方面可以“動”中取“靜”，確定極端情況時動點的位置，利用直觀想象與數(shù)形結(jié)合加以分析與處理；一方面可以引入?yún)?shù)(或角參或邊參)，結(jié)合條件構(gòu)建截面所對應(yīng)的面積關(guān)系式，利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以分析與處理．

2.4 體積問題

例4如圖7所示，有一容積為1立方單位的正方體容器ABCD-A1B1C1D1，若在棱AB，BB1及對角線B1C的中點各有一小孔E，F(xiàn)，G，且此容器可以任意放置，則該容器可裝水的最大容積是( ).

圖7

圖8

分析：先通過過E，B1，G三點的截面來確定對應(yīng)的三棱錐，并求解此時三棱錐的體積，結(jié)合空間幾何體的性質(zhì)分析此時即為滿足條件的該容器可裝水的最大容積，進而得以求解最大容積問題．

故選擇答案：C．

點評:此類涉及空間幾何體的截面分隔開來的幾何體的體積問題，破解的關(guān)鍵是確定滿足條件的截面以及所分隔開來的幾何體所對應(yīng)的邊長等數(shù)量信息，綜合空間幾何體的體積關(guān)系或體積公式來綜合應(yīng)用與處理．

3 結(jié)語

其實，破解涉及立體幾何中空間幾何體的截面問題，合理利用平面的性質(zhì)確定截面形狀，其中確定截面的主要依據(jù)包括：平面的四個公理及推論，直線和平面平行的判定和性質(zhì)，兩個平面平行的性質(zhì)以及球的截面的性質(zhì)等.結(jié)合平面幾何圖形的性質(zhì)特征來分析與轉(zhuǎn)化是解決相應(yīng)截面問題的關(guān)鍵．Z