例談不等式中的消元技巧

?浙江省寧波市鄞州中學 徐欣欣

1 引言

數學運算是高中數學學科核心素養之一，運算能力的缺乏已經嚴重掣肘學生數學學科核心素養的提升，筆者對數學運算中常用的技巧和思想加以總結，希望能助學生打破固有思路局限，拓展數學思維，并提升反思總結的能力.不等式問題中經常會碰到多變量問題，日常教學中，學生碰到不等式問題往往習慣性用不等式的性質去解.盡管部分多變量問題可以用不等式直接解決，但大多數時候若用消元處理則可以起到事半功倍的效果.本文中以不等式問題舉例說明代入消元、整體換元消元、等價轉化消元的運用.

2 消元法的應用技巧

評注：該例題通過代入等式消元，轉化為單變量的函數問題，若求最值則需要驗證等號能否取到，若求范圍則需要把函數定義域求解準確.代入消元是最基本的消元方法，經常使用.

評注：該例題依舊是通過代入等式消元，轉化為單變量的函數問題，但有所變化.已知條件中有x,y,z三個變量，而問題中只有x,y兩個變量，常規想法是先消變量z，再消變量x或y，此題根據代數式特征直接消去了x,y變量，保留了z變量.

評注：該例題的關鍵是由y+(x-3y)=x-2y發現可以把x-2y看作一個整體，進行整體換元，從而達到消元目的.整體換元不僅可以把含兩個變量的式子看作一個整體，也可把含三個、四個變量的式子看作一個整體，從而同時消去多個變量.

例5已知a>0,b>0，證明不等式：

證明因為a≠b，所以不妨設0

所以函數f(t)在區間(1,+∞)上單調遞增，所以f(t)>f(1)=0.

例6已知實數a,b,c滿足a2+2b2+3c2=1，則a+2b的最大值為.

解由a2+2b2+3c2=1，得a2+2b2≤1.

評注：該例題第一步通過等式轉化為不等式從而達到消元效果.此過程看似簡單，實則不易想到，關鍵是需要理解等價性，此題取到最值時存在滿足條件的c即可.

3 總結

代入消元有代入等式消元和代入不等式消元，代入不等式消元有時需要對代數式進行主元處理.比值消元作為整體換元消元中一類最常用的消元方式，往往需要對代數式進行齊次化處理.消元不僅在不等式問題中經常使用，對于其他情形的多變量問題，照樣適用，而且對消元順序的處理，往往能提供解題思路，所以培養學生的消元意識，學會消元技巧至關重要.Z