一道教科研聯(lián)盟函數(shù)題的破解

?安徽省利辛縣第一中學 李曉蘭

1 引言

導數(shù)法是處理直線與曲線的位置關系、函數(shù)的零點、方程的實根等相關問題的基本方法.根據(jù)題目情境的巧妙設置，合理變形與轉(zhuǎn)化，通過函數(shù)的構(gòu)建，結(jié)合求導處理，借助函數(shù)的單調(diào)性等基本性質(zhì)，通過基本函數(shù)的圖象與性質(zhì)來合理轉(zhuǎn)化，巧妙破解，已經(jīng)成為高考、聯(lián)賽等命題的高頻考點之一，倍受關注．

2 問題呈現(xiàn)

此題以含參的直線與曲線的位置關系為問題情境來創(chuàng)設，借助導數(shù)來研究函數(shù)的零點問題，通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合、分類討論、參變分離或構(gòu)造方程法等思維方法來分析與處理，難度較大，創(chuàng)新新穎，具有很好的區(qū)分度．

3 問題破解

方法1：數(shù)形結(jié)合法.

令函數(shù)g(x)=x-lnx-1，求導可得

當0

當x>1時，g′(x)>0，g(x)在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞增.

所以g(x)min=g(1)=0，故g(x)≥0在區(qū)間(0，+∞)上恒成立.

所以f(x)在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增.

圖1

作出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖1所示.

點評:破解的關鍵是利用導數(shù)研究函數(shù)f(x)的圖象，數(shù)形結(jié)合來確定參數(shù)b的取值范圍．由于函數(shù)f(x)的圖象非熟知，結(jié)合導數(shù)法，利用求導處理并通過研究函數(shù)的單調(diào)性來大致確定函數(shù)的圖象，為破解問題的數(shù)形結(jié)合思想提供圖形依據(jù)．數(shù)形結(jié)合法是處理此類問題的常用方法，借助函數(shù)圖象為突破口，采用數(shù)形結(jié)合思想，比較巧妙．

方法2：分類討論法.

(1)當b<0時，g′(x)有唯一零點x0，g(x)在區(qū)間(0，x0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(x0，+∞)上單調(diào)遞增.

而當x→0+時，g(x)→+∞；當x→+∞時，g(x)→+∞.

所以g(x)min=g(x0)=x0-lnx0+1-k，而取k=1時，g(x)無零點，舍去.

(2)當b=0時，g′(x)有唯一零點2，g(x)在區(qū)間(0，2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2，+∞)上單調(diào)遞增.

而當x→0+時，g(x)→+∞；當x→+∞時，g(x)→+∞.

所以g(x)min=g(2)=1-ln2-k，而當k<1-ln2時，g(x)無零點，舍去.

而當x→0+時，g(x)→-∞；當x→+∞時，g(x)→+∞，滿足要求.

而當x→0+時，g(x)→-∞；當x→+∞時，g(x)→+∞.

所以,存在k∈R，使g(x1)>0，g(x2)<0，此時，g(x)有兩個零點，舍去.

點評:通過直線與曲線的位置關系對條件進行合理的轉(zhuǎn)化，巧妙構(gòu)建對應的方程，通過方程的變形與轉(zhuǎn)化，構(gòu)建對應的函數(shù)，通過求導處理，利用參數(shù)取值的分類討論，確定在每種情況下函數(shù)零點的情況，從而得以確定參數(shù)的取值范圍問題．分類討論法能很好地處理雙參數(shù)問題，尋找結(jié)論成立的條件，不重不漏，嚴格縝密，只是過程比較繁雜，討論細節(jié)較多，容易導致錯誤，要引起注意．

方法3：參變分離法.

根據(jù)題意知，對任意實數(shù)k，都有唯一的x與之對應，則可知函數(shù)g(x)是單調(diào)函數(shù).

令函數(shù)h(x)=x2-2x+2b，可知函數(shù)h(x)是開口向上的二次函數(shù).

點評:通過直線與曲線的位置關系對條件進行合理的轉(zhuǎn)化，巧妙構(gòu)建對應的方程，借助參變分離，構(gòu)建對應的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的定義以及單調(diào)性的定義，將問題轉(zhuǎn)化為相應函數(shù)的單調(diào)性問題，通過求導，借助二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，通過判別式小于等于0來建立不等式，進而確定參數(shù)的取值范圍問題．參變分離法是破解涉及函數(shù)參變量問題中比較常用的一種技巧方法，利用參變分離進行等價轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)變問題視角，巧妙分析與破解．

方法4：構(gòu)造方程法.

令函數(shù)h(x)=x2-2x+2b，可知函數(shù)h(x)是開口向上的二次函數(shù).

點評:通過直線與曲線的位置關系對條件進行合理的轉(zhuǎn)化，巧妙構(gòu)建對應的方程，通過方程的變形與轉(zhuǎn)化，構(gòu)建對應的函數(shù)，通過求導處理，借助二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，通過判別式小于等于0來建立不等式，進而得以確定參數(shù)的取值范圍問題．構(gòu)造方程法合理綜合與分類討論法與參變分離法的優(yōu)點，巧妙組合，優(yōu)化過程，提升效益．

4 變式拓展

探究1：通過保留題目條件，適當改變對應的函數(shù)解析式與參數(shù)條件，可以得到以下對應的變式問題．

下面先證明g(x)<1恒成立.

假設?x0∈(0，+∞)，使得g(x0)≥1.因為x→0+時，g(x)→-∞，且當自變量x充分大時，g(x)<1，

所以存在x1∈(0，x0)，x2∈(x0，+∞)，使得g(x1)<1，g(x2)<1.

取k=max{g(x1)，g(x2)}<1，則y=k與y=g(x)至少有兩個交點，與題意矛盾.

由對任意k∈(-∞，1)，g(x)=k只有一個解，得g(x)為(0，+∞)上的遞增函數(shù).

因此b≥m(x)max=m(2)=-ln2，即b的取值范圍是[-ln2，+∞).

故填答案：[-ln2，+∞)．

5 教學啟示

5.1 方法總結(jié)，技巧歸納

通過研究函數(shù)圖象的交點問題，以導數(shù)為工具研究函數(shù)的單調(diào)性，多參數(shù)立意新穎，任意類恒成立問題與基本概念密切聯(lián)系，深入淺出地考查學生的數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)．關于本題的處理方法，我們經(jīng)常采用數(shù)形結(jié)合、分類討論、參變分離、構(gòu)造方程等方法，其中數(shù)形結(jié)合直觀，分類討論周密，參變分離快捷，構(gòu)造方程優(yōu)化，都是非常好的分析與處理此類問題的基本方法．

5.2 考點剖析，能力提升

導數(shù)法是分析與解決函數(shù)的零點、方程的實根等相關問題中比較常用的一種技巧方法，也是借助導數(shù)法來考查此類問題的熱點與難點之一．通過函數(shù)的零點、方程的實根、直線與曲線之間的交點個數(shù)等不同情況來合理創(chuàng)設問題，背景設置各異，變化多端，求解的形式與方法也各不相同．熟練掌握基本題型，把握問題實質(zhì)，以不變應萬變，全面提升數(shù)學品質(zhì)，提高數(shù)學能力．Z