一道聯賽橢圓試題的破解及拓展

?江蘇省西亭高級中學 金 鑫

1 引言

圓錐曲線是高中數學中的基本知識之一，是高中數學聯賽中常見考點之一．此類問題很好交匯代數與幾何，“數”“形”融合，“動”“靜”兼備，是數學多方面知識融合與交匯的一大重要場所，有效考查數學基礎知識與數學關鍵能力，體現選拔與區分功能的主陣地之一．

2問題呈現

圖1

此題為高中聯賽一試解答題中的最后一題，難度比較大．以橢圓為問題背景，利用平面幾何中對應三角形的內切圓來創設情境，結合基本不等式、三角函數等的應用來達到應用與破解的目的．

3 問題破解

方法1：官方參考答案——坐標法.

解析：易知F1(-1，0)，F2(1，0)，設P(x0，y0)，Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，由條件知x0，y0>0，y1<0，y2<0.

點評：根據條件設出對應點的坐標，利用橢圓的定義確定兩對應三角形的周長，利用三角形的面積公式確定對應內切圓的半徑，進而得到兩半徑差的關系式；結合直線與橢圓的方程聯立，利用函數與方程思維，借助韋達定理加以轉化，確定相關點的坐標之間的關系式，進而轉化對應的關系式，結合基本不等式的應用，從而得以確定對應的最值問題．坐標法處理圓錐曲線問題，是破解此類問題是最常用的技巧方法之一．

方法2：單變量參數方程法.

方法3：多變量參數方程法.

解析：易知F1(-1，0)，F2(1，0).

即

由萬能公式得

點評：根據題目條件，橢圓上的三個點引入對應的參數坐標，進而確定兩對應三角形的內切圓半徑之差r1-r2的三角函數關系式，結合三點共線構建三角函數關系式，并利用三角恒等變形加以轉化與處理，最后再利用基本不等式來確定相應的最值問題．多參數引入，元素較多，要求具備非常好的數學運算與邏輯推理能力．

4 探究拓展

探究：保留題目創新背景，化特殊情況為一般情況，可以得到更具有一般性的普通性結論．

證明：易知F1(-c，0)，F2(c，0).

設P(x0，y0)，Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，由條件知x0，y0>0，y1<0，y2<0.

由橢圓定義得|PF1|+|PF2|=|Q1F1|+|Q1F2|=|Q2F1|+|Q2F2|=2a，故△PF1Q2與△PF2Q1的周長均為l=4a.

5 解后反思

涉及圓錐曲線中相關三角形的內切圓的性質及其應用，是圓錐曲線相關知識的進一步綜合與應用，背景生動，創新新穎，內容豐富，綜合性強，趣味規律．通過相應性質的理解與掌握，結合圓錐曲線的相關知識與基本性質加以合理轉化，綜合函數與方程、三角函數、不等式等其他相關的知識，巧妙處理，有效提升學生的邏輯推理能力、數學運算能力等，創新意識與創新應用，全面促進數學思維能力和思維品質的提高，增強數學關鍵能力，培養數學核心素養．Z