一道清華強基題的思考

?安徽省毫州市渦陽縣第二中學 龔莉莉

1 引言

根據導數的運算法則可知三次函數的導函數是二次函數，而二次函數是高中數學中最重要、最基本的內容之一，因此以三次函數、三次方程等為問題背景的試題已經成為高考、聯賽等命題的高頻考點之一，倍受關注．

2 問題呈現

問題(2021年清華大學強基計劃數學試卷第4題)恰有一個實數x使得x3-ax-1=0成立，則實數a的取值范圍是( ).

3 問題剖析

此題以含參的三次方程為問題背景，結合對應三次方程恰有一個實數解來巧妙設置，利用三次函數的圖象與性質來確定相應參數的取值范圍問題．

破解問題的關鍵就是合理轉化題目條件中相應的三次方程，或分離參數，或巧妙構造，借助導數工具，利用求導處理，通過對應函數(特別是三次函數)的圖象與性質的確定，結合三次方程的根的個數，數形結合，得以破解對應問題．在此基礎上，總結相應的解題規律，拓展思維，提升品質，提高能力．

4 問題破解

方法1：分離參數法.

x -∞,-132 -132 -132,0 (0,+∞)f'(x)-0++f(x)↘極小值↗↗

且當x→0-時，f(x)→+∞；當x→0+時，f(x)→-∞；

圖1

由此作出函數f(x)的大致圖象，如圖1所示.

故選擇答案：B．

點評:根據題目條件進行分離參數處理，通過構造函數，結合求導確定導函數的零點，利用導函數的正負取值情況確定函數的單調性與極值，并結合函數性質的變化趨勢確定函數的大致圖象，數形結合確定參數的取值范圍．巧妙分離參數，借助函數的數學建模，化抽象為直觀，數形結合，直觀破解．

方法2：導數的幾何意義法.

解析：由x3-ax-1=0，可得x3=ax+1.

那么，恰有一個實數x使x3-ax-1=0成立?直線y=ax+1與函數y=x3的圖象恰有一個交點.

下面直接考察直線y=a0x+1與曲線y=x3相切的情況，此時設切點坐標為A(t，t3).

由y=x3，求導可得y′=3x2.

則有t3=a0t+1，且3t2=a0，解得

故選擇答案：B．

點評:將對應的三次方程轉化為直線與三次函數的曲線的位置關系問題，考察直線與曲線相切的情況，通過求導，結合導數的幾何意義建立相應的關系式，進而確定對應的參數值，通過直線與三次曲線的位置關系來確定參數的取值范圍．構造函數進行數學建模，通過求導處理，利用導數的幾何意義建立關系式，代數運算，邏輯推理，有效破解．

方法3：分類討論法.

解析：構造函數f(x)=x3-ax-1，求導有f′(x)=3x2-a.

當a≤0時，恒有f′(x)≥0，結合三次函數的圖象知方程x3-ax-1=0恰有一個實根，滿足題目條件；

王振輝認為，相較于其他網絡，GSSC有兩個特點。第一，京東物流是一個有自己六大網絡的物流企業，本身就是一家物流企業。第二，京東物流會從兩個方面來進行建設，一方面是技術智能化平臺的建設，另一方面，是做通路網絡的建設，因為京東物流就是通路網絡的實施者和運營者，所以在通路網絡的建設當中，會和其他的合作伙伴一起來建設通路網絡。

x -∞,-a3 -a3 -a3,a3 a3 a3,+∞ f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗

圖2

故選擇答案：B．

點評:直接根據三次方程構造函數模型，結合求導處理，通過參數的分類討論，在a>0時，結合三次函數的圖象與性質，通過三次圖象與y軸只有一個交點，確定函數的極大值小于0得以確定參數的取值范圍．直接構造函數進行數學建模，結合參數的分類討論，利用函數的圖象與性質，結合極值建立不等式來分析與處理．

5 變式拓展

探究1：根據以上問題及其破解過程，保留問題背景與考查的數學相關知識點，合理改變三次方程的根的個數，由“恰有一個實數”改變為“恰有兩個(或三個)實數”，得到以下兩個對應的變式問題．

變式1：恰有兩個實數x使得x3-ax-1=0成立，則實數a的取值范圍是( ).

答案：C．

變式2：恰有三個實數x使得x3-ax-1=0成立，則實數a的取值范圍是( ).

答案：D．

以上兩個變式問題的破解，可以參照原問題的方法1加以分離參數法處理，通過構造函數，結合求導處理，數形結合直觀等步驟與方法來處理與解決．這里不多加以敘述．當然，可以進一步結合邏輯用語(如“至少”“至多”等)來確定三次方程的實根個數問題，合理構建，對應變式，綜合拓展．

6 教學啟示

6.1 方法總結，技巧歸納

在具體破解此類問題時，有時直接利用方程所對應的函數或函數自身加以直接分類討論；有時通過變形轉化，合理構造函數，結合求導來分析與處理；有時通過分離參數法加以巧妙轉化等．無論采用何種方法切入與應用，往往都離不開求導運算，通過求導處理，結合導函數所對應的二次函數或其他相關函數類型，借助對應函數的圖象以及函數的單調性、極值與最值等來分析處理．

6.2 考點類型，能力提升

利用導數法來解決與函數零點、方程實根等有關問題，一直是歷年高考中的熱點與難點問題，問題背景設置各異，變化多端，求解的形式與方法也各不相同．熟練掌握基本題型，把握問題實質，以不變應萬變，全面提升數學品質，提高數學能力．Z