2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷(理)第9題的多角度破解及拓展

?湖北省武漢市常青第一中學(xué) 諶述濤

1 引言

三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值問(wèn)題一直是高考數(shù)學(xué)命題的一個(gè)基本題型，考查形式各樣，背景設(shè)置多變，有時(shí)單獨(dú)設(shè)置問(wèn)題考查，有時(shí)交匯融合其他知識(shí)輔助考查，有時(shí)作為基本過(guò)程合理過(guò)渡等，常考常新，可以很好考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、代數(shù)運(yùn)算等方面的數(shù)學(xué)能力與核心素養(yǎng)等．

2 真題呈現(xiàn)

3 真題剖析

該題條件簡(jiǎn)單，短小精悍，難度適中，以三角函數(shù)中單角、倍角的三角函數(shù)式來(lái)設(shè)置條件，求解單角的正切值，綜合考查三角恒等變換、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式等相關(guān)知識(shí)．

正確進(jìn)行三角函數(shù)求值的關(guān)鍵就是化同角，巧變換，妙求值．具體破解時(shí)，可以從條件中的三角關(guān)系式入手，或三角恒等變換處理，通技通法；或三角函數(shù)定義處理，回歸本源；或數(shù)形結(jié)合處理，解幾直觀等．結(jié)合不同的思維視角與方法來(lái)處理與求值，很好地考查考生對(duì)三角函數(shù)綜合知識(shí)的理解與掌握程度，更深層次上強(qiáng)化思維的靈活性、多樣性、拓展性等．

4 真題破解

方法1：通技通法思維——三角恒等變換法.

點(diǎn)評(píng):常規(guī)思維中，將已知等式左邊“化切為弦”，利用二倍角公式“化同名”，得以求解sinα的值，進(jìn)一步利用三角函數(shù)中的平方關(guān)系求得cosα的值，最后由三角函數(shù)中的商數(shù)關(guān)系即可得tanα的值．利用三角恒等變換法處理三角函數(shù)中的求值問(wèn)題，是破解此類問(wèn)題的通技通法，注意三角函數(shù)公式的巧妙轉(zhuǎn)化與應(yīng)用．

方法2：回歸定義思維——三角函數(shù)定義法.

點(diǎn)評(píng):結(jié)合三角函數(shù)的定義，將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為參數(shù)x，y，r之間的關(guān)系式，通過(guò)二倍角公式轉(zhuǎn)化原來(lái)的三角關(guān)系式，結(jié)合三角函數(shù)定義代入，并對(duì)參數(shù)進(jìn)行變形與化簡(jiǎn)，建立對(duì)應(yīng)參數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而利用定義確定對(duì)應(yīng)的正切值．利用三角函數(shù)定義思維來(lái)破解三角函數(shù)的求值問(wèn)題，回歸問(wèn)題本質(zhì)，也是破解三角函數(shù)求值中比較常見(jiàn)的一類技巧策略．

方法3：數(shù)形結(jié)合思維——解析幾何法.

圖1

解析：如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(0，2)，點(diǎn)P(cosα，sinα)在單位圓x2+y2=1上，點(diǎn)B在直線AP上，從而∠POx=α，設(shè)∠BOx=2α.

所以∠POx=∠BOP=α，∠OAB=∠BOx=2α，∠OPA=90°-α.

在△AOP中，|OB|=|OA|sin2α=|OP|sin(90°-α)，則有2sin2α=sin(90°-α).

整理可得4sinαcosα=cosα.

點(diǎn)評(píng):數(shù)形結(jié)合思維中，抓住已知三角關(guān)系式的特征，建立平面直角坐標(biāo)系，將已知的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為兩直線的斜率之積為-1的關(guān)系，進(jìn)而化“數(shù)”為“形”，借助兩直線的垂直，通過(guò)平面幾何的直觀形象，利用解直角三角形建立相應(yīng)的關(guān)系式，得以確定sinα的值，進(jìn)一步利用三角函數(shù)中的平方關(guān)系求得cosα的值，最后由三角函數(shù)中的商數(shù)關(guān)系即可得tanα的值．利用數(shù)形結(jié)合思維來(lái)直觀想象，是一種不錯(cuò)的技巧方法，要求準(zhǔn)確識(shí)破條件中三角關(guān)系式的特征，可以作為我們學(xué)習(xí)的一個(gè)拓展與延伸．

方法4：數(shù)形結(jié)合思維——平面幾何法.

圖2

解析：如圖2所示，點(diǎn)B，P在單位圓O上，且OA⊥OB，|OA|=2，∠POB=α.

四邊形OFPE為矩形，點(diǎn)C在直線AP上，且∠POC=∠POB=α.

則有|PE|=|OF|=cosα，|OE|=|PF|=sinα，可得|AE|=2-sinα.

而∠PAE=2α=∠COB，則知∠ACO=∠AEP=90°，且|OC|=|OF|=cosα.

點(diǎn)評(píng):巧妙構(gòu)建對(duì)應(yīng)的平面幾何圖形，利用幾何圖形中邊與角的關(guān)系，并結(jié)合解直角三角形加以合理轉(zhuǎn)化與應(yīng)用．過(guò)程比較繁雜，巧妙構(gòu)建單角與雙角之間的聯(lián)系，以及對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值之間的比值與轉(zhuǎn)化，數(shù)形直觀，邏輯推理．平面幾何圖形的變化多端，對(duì)于我們來(lái)說(shuō)也是一個(gè)很好的拓展與延伸．

5 變式拓展

對(duì)于三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)或求值問(wèn)題，在其他高考試卷中也有類似的真題，與以上問(wèn)題剛好相反，通過(guò)單角的正切值，來(lái)求解涉及單角、雙角的三角函數(shù)式的值問(wèn)題．

點(diǎn)評(píng):對(duì)于該問(wèn)題的破解，可以通過(guò)三角關(guān)系式的齊次化思維、統(tǒng)一思維、各個(gè)擊破思維以及三角函數(shù)定義思維等方式來(lái)處理，結(jié)合不同的思維方法來(lái)處理與求值，都可以達(dá)到破解的目的．

6 教學(xué)啟示

6.1 掌握通技通法，熟記基本公式

在進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)或求值時(shí)，一定要掌握最常見(jiàn)的三角恒等變換法，對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行切化弦、化同名、化同角等常規(guī)處理，掌握破解問(wèn)題的通技通法，前提條件就是熟練記憶三角函數(shù)中的一些基本公式，方便靈活應(yīng)用，巧妙變換．在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，要督促學(xué)生對(duì)基本公式的理解與記憶．

6.2 回歸定義本源，類比幾何本質(zhì)

三角函數(shù)問(wèn)題是建立在三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，往往回歸三角函數(shù)的定義本源，問(wèn)題也可以得以很好處理；同時(shí)三角函數(shù)更是初中平面幾何基礎(chǔ)上的拓展與延伸，離不開(kāi)幾何本質(zhì)與圖形特征．在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，要適當(dāng)滲透三角函數(shù)定義的本源回歸，以及平面幾何本質(zhì)的數(shù)形結(jié)合與直觀應(yīng)用．Z