一道全國高中聯賽向量題的探究及拓展

?貴州省湄潭縣湄江高級中學 楊 滔

1 引言

平面向量的最值問題一直是高考中非常常見的題型之一，可以涉及平面向量的模、夾角、數量積、參數值等多個要素，也是各類模擬卷、自主招生、競賽中比較常見的題型．平面向量的最值問題往往切入點多，方法多樣，而且難度一般都不低，是一個數學知識融合，創新意識應用，數學能力提升以及數學核心素養培養等的重要場所．

2賽題呈現

此題以三角形為載體，結合三角形的邊長與兩向量的數量積來確定已知的三角形，利用動點P的“動”態，結合數量積的“數”式，利用平面向量的線性運算與數量積運算來合理轉化，進而形成“形”式，確定“靜”態情況下相應的最值問題，創新性強，讓人眼前一亮．

3 問題破解

方法1：基本不等式法.

解析：取BC的中點D，連接AD.

方法2：參數法.

解析：取BC的中點D，連接AD.

方法3：坐標法.

圖1

解析：以點A為坐標原點，AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖1所示.不失一般性，假定點C位于第一象限.

點評:以點A為坐標原點巧妙構造直角坐標系，結合題目條件確定點C的坐標，設出點P的坐標，利用平面向量的坐標運算與數量積公式得到涉及參數x，y的二次關系式，通過合理配方，結合函數思維來確定最值即可．坐標法可以借助平面直角坐標系的建立，以及坐標的代數運算來合理轉化，化“形”為“數”，利用代數運算來達到目的．

方法4：極化恒等式法.

解析：取BC的中點D，連接AD.

那么結合極化恒等式，可得

4 問題背景

以上賽題改編于2017年高考數學全國卷Ⅱ理科第12題，是在原來特殊三角形——等邊三角形的基礎上，加以一般化處理．

由于涉及特殊三角形——等邊三角形，此高考真題破解起來更為簡單快捷，可以參考以上賽題的破解方法加以分析與處理．(此題答案：B)

5 教學反思

5.1 方法歸納

在解決平面向量的數量積問題中，可以利用基底向量，借助平面向量的線性運算，結合基本不等式、極化恒等式等加以處理；也可以利用平面直角坐標系，借助平面向量的坐標運算，結合函數等加以處理；有時還可以直接利用圖形特殊，結合平面向量的“形”的特征加以處理;等等.這些都是競賽、高考中解決此類問題比較常見的一些技巧方法．

5.2 核心引領

在破解平面向量的最值問題時，問題切入的關鍵是根據題目條件，從平面向量的相關概念、相關運算、相關圖形的本質出發，選取代數與幾何、數與形等方式，以概念法、函數法、三角函數法、數形結合法以及不等式法等行之有效的基本方法來參與，借助平面向量的相關運算等來解決，進而有效達到解決相關最值問題的目的，融合數學知識，提升解題能力，拓展數學思維，培養核心素養．Z