解決一類函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題的基本策略
——以2021年浙江省高考?jí)狠S題解析為例

?杭州第七中學(xué) 劉富裕

1 引言

2021年浙江省壓軸題表述簡(jiǎn)潔，立意新穎，知識(shí)交匯豐富，多層次多角度地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和素養(yǎng)[1].該題將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的零點(diǎn)與不等式知識(shí)結(jié)合,考查學(xué)生靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具分析和解決問(wèn)題的能力，對(duì)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)要求較高，為高校選拔和學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)所需掌握的技能、思想、方法創(chuàng)造條件[2].

2 原題

設(shè)a,b為實(shí)數(shù)，且a>1，函數(shù)f(x)=ax-bx+e2(x∈R).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)任意b>2e2，函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；

3 題目剖析

第(1)小題比較常規(guī)，主要考查函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題，這里要注意的是對(duì)參數(shù)的討論；第(2)小題涉及到函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍，也是浙江高考連續(xù)兩年都涉及到的問(wèn)題；第(3)小題屬于雙變量含參不等式的問(wèn)題，這也是近幾年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題的.解題思路如圖1：

圖1

4 解法探析

4.1 第(1)小題解法探究(直接求導(dǎo)，正負(fù)定界)

由于f(x)=ax-bx+e2(x∈R),所以f′(x)=axlna-b.

①若b≤0，則f′(x)=axlna-b>0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增；

這種利用導(dǎo)函數(shù)來(lái)判斷函數(shù)單調(diào)性是比較常規(guī)的題目，本小題要注意的是對(duì)參數(shù)b的討論，這里的難點(diǎn)是對(duì)指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)以及極值點(diǎn)的表示.

4.2 第(2)小題解法探究

回歸到原點(diǎn)，本小題主要涉及到知識(shí)點(diǎn)為函數(shù)零點(diǎn).對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，可以從函數(shù)零點(diǎn)自身性質(zhì)、對(duì)應(yīng)方程的根以及函數(shù)圖象的交點(diǎn)這三個(gè)方面去切入，找到解題突破口.

4.2.1 極限敘述、進(jìn)階放縮

圖2

使用換底公式再去分母化簡(jiǎn)為：

?[1+ln(lna)]b-blnb+e2lna<0.

圖3

記上述不等式左側(cè)為g(b)，則其導(dǎo)函數(shù)為g′(b)=ln(lna)-lnb,b>2e2.

易知g(b)在(0,lna)單調(diào)遞增，在(lna,+∞)單調(diào)遞減.

又因?yàn)間max(b)=g(lna)=lna+e2lna>0，所以結(jié)合函數(shù)圖象(如圖3)可知：

由g(2e2)=e2[2ln(lna)+lna-2ln2-2]≤0，可得2ln(lna)+lna-2ln2-2≤0，即2ln(lna)+lna≤2ln2+2.

又因?yàn)楹瘮?shù)y=2lnx+x在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞增，結(jié)合lna≤2e2，0

這種方法是從零點(diǎn)自身性質(zhì)出發(fā)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，把“函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為“恒成立問(wèn)題”，進(jìn)而求參數(shù)的取值范圍.過(guò)程中涉及到構(gòu)造函數(shù)，并把b看作變量，體現(xiàn)了雙參主元的思想[3].

上述方法運(yùn)算量比較大，我們還可以對(duì)其進(jìn)一步改進(jìn)與優(yōu)化.

赫利森的研究描述了同一通道的免疫功能。它們提供了一種方法，讓更多第一反應(yīng)的白細(xì)胞比來(lái)自腿骨骨髓的白細(xì)胞更容易受到急性腦損傷。這一結(jié)果叫板了目前的觀點(diǎn)，認(rèn)為骨髓損傷后均勻釋放白細(xì)胞進(jìn)入血液循環(huán)，從而到達(dá)炎癥部位。

則g(x)在x∈(0,1]上單調(diào)遞增，在x∈(1,+∞)上單調(diào)遞減.

以上過(guò)程，首先是從函數(shù)零點(diǎn)出發(fā)，然后使用極限敘述、進(jìn)階放縮的方法，最后通過(guò)恒成立問(wèn)題求出參數(shù)的取值范圍[4].在此過(guò)程中，也涉及到換元、構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合等方法，主要考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

4.2.2 換元轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)

記h(t)=et(t-1)-e2,則

h′(t)=et(t-1)+et·1=et·t>0.

又h(2)=0，所以t∈(0,2)時(shí)，h(t)<0,t∈(2,+∞)時(shí)，h(t)>0.

則g(t)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+∞)上單調(diào)遞增.

因此lna≤2，即1

此方法把函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)方程的根，從方程根這個(gè)角度切入，然后通過(guò)換元、二次構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍.過(guò)程中涉及到等價(jià)轉(zhuǎn)換、二次構(gòu)造、二次求導(dǎo)等方法，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)有較高的要求.但考場(chǎng)上時(shí)間有限，我們需要一種簡(jiǎn)化運(yùn)算的方法.接下來(lái)，我們嘗試從函數(shù)圖象入手.

4.2.3 分參思想，利用切點(diǎn)

函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)f(x)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，但與x軸交點(diǎn)無(wú)法求得.

設(shè)h(x)=ax，g(x)=bx-e2，則轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)P(x0,y0)，畫(huà)出函數(shù)圖象(圖4).

圖4

發(fā)現(xiàn)當(dāng)b為定值時(shí)，隨著a的變化，兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)是不確定；而當(dāng)a為定值時(shí)，無(wú)論b如何變化，函數(shù)圖象始終有兩個(gè)零點(diǎn).所以，對(duì)于?b>2e2，兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)g(x0)>y0.

從而ax0lnax0-e2=ax0.令t=ax0，則tlnt-e2=t，切點(diǎn)坐標(biāo)為P(logae2,e2).

由g(logae2)=blogae2-e2>e2,b>2e2，得logae2≥1,從而1

這種方法是從函數(shù)圖象切入，把函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn).從兩函數(shù)相切逆推到函數(shù)圖象相交的情況，從而求出參數(shù)a的取值范圍.

總體上看，第(2)小題主要是雙參數(shù)求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題，我們首先從數(shù)學(xué)原點(diǎn)和題目原點(diǎn)出發(fā)，分別利用零點(diǎn)存在性質(zhì)得到不等關(guān)系、利用函數(shù)最值性質(zhì)得到不等關(guān)系、利用切點(diǎn)性質(zhì)得到不等關(guān)系，最后求出參數(shù)的取值范圍.在此過(guò)程中主要考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).

4.3 第(3)小題解法探究

第(3)小題是不等式的證明，可以從原點(diǎn)出發(fā)，挖掘已知條件，類比第(2)小題的做法去切入；也可以從要證明的結(jié)論切入，對(duì)其變形、等價(jià)、或簡(jiǎn)化等.

4.3.1 參變分離，分析求證

從參數(shù)b入手.

a=e時(shí)，f(x)=ex-bx+e2有2個(gè)不同零點(diǎn)x1，x2(x1

由于ex+e2=bx，則x>0.結(jié)合函數(shù)圖象(圖5)，知f(2)=e2-2b+e2<0，則x1<2

圖5

因?yàn)閒(x1)=f(x2)=0,

又因?yàn)閎>e4，所以bln(lnb)>e4ln4>e2顯然成立.證畢.

首先把函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程的根，分離參數(shù)b，利用數(shù)形結(jié)合求出x1的取值范圍，進(jìn)而使用放縮法和分析法證明了結(jié)論.這里的f(2)<0是很難想得到的，我們采用數(shù)形結(jié)合的方法去處理，主要考查學(xué)生直觀想象能力.

4.3.2 變量分離，分析求證

結(jié)合第(2)問(wèn)可知，當(dāng)a=e且b>e4時(shí)，f(x)恒有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

由于f(2)=2(e2-b)<0,可得x1<2；

由于f(x1)=ax1-bx1+e2=0，得bx1=ax1+e2，所以，對(duì)待證不等式右側(cè)替換和放大：

此方法把函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)方程的根，和解法1不同的是此方法分離的是bx1，進(jìn)而對(duì)要證的不等式放大，最后用分析法求得結(jié)果.主要考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，同時(shí)也要求學(xué)生對(duì)放縮法和分析法掌握得比較熟練.

以上兩種方法分別是從參數(shù)b和變量x1,x2考慮，方法很巧妙，但運(yùn)算量非常大.類比第(2)小題，我們用數(shù)形結(jié)合來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算，此題也可以嘗試去從函數(shù)圖象這個(gè)角度切入.

4.3.3 數(shù)形結(jié)合，分析求證

圖6

由a=e,f(x)=ex-bx+e2,?b>e4知x0=lnb，故f(x)恒有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(x1lnb>4，結(jié)合函數(shù)圖象(見(jiàn)圖6)：

f(0)=1+e2>0,f(1)=e+e2-b

由0=f(x1)=ex1-bx1+e2，得bx1=ex1+e2

只需證(e2-e)lnb>2.

而b>e4,知(e2-e)lnb>4(e2-e)>2成立.

從函數(shù)圖象切入，利用函數(shù)圖象估計(jì)x1的范圍，再用代數(shù)的方法去驗(yàn)證，然后用放縮、分析法求證.體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，這個(gè)過(guò)程中主要考查了學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).

縱觀第(3)小題，主要是考查雙變量含參不等式化為含參數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，這里的變量又是函數(shù)零點(diǎn)，所以將函數(shù)零點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程的根互相轉(zhuǎn)化，進(jìn)而用分析法求證.

5 反思總結(jié)

本題是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的壓軸題,對(duì)于此類題目，我們需要“回歸原點(diǎn)”.這里的“原點(diǎn)”,一方面是指試題涉及的“數(shù)學(xué)的原點(diǎn)”,即概念、定義、公式、定理、基本知識(shí)和思想；另一方面是指給出的“試題的原點(diǎn)”,包括涉及的題型、結(jié)構(gòu)，數(shù)據(jù)、條件，變形、推論等.以后遇到此類問(wèn)題時(shí)，我們可以從方程、不等式、切線、最值、極值等等切入,最后落腳點(diǎn)都是函數(shù)[5].堅(jiān)定函數(shù)思想、明確函數(shù)意識(shí)是求解這類問(wèn)題的基本.解題過(guò)程有如下感悟：

導(dǎo)數(shù)大題運(yùn)算繁，雙參函數(shù)定主元；

復(fù)雜算式需變換，先猜后證變簡(jiǎn)單.

這也充分考查了學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)，同時(shí)對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新能力的要求也越來(lái)越高[6].