用研討學(xué)教法講新高考原題*

?海南昌江中學(xué) 廖明艷 林瑞記

1 引言

在2021年高考結(jié)束之后，很多老師都在感嘆：“今年的高考題怎一個(gè)‘新’字了得！”無論是試題命制的創(chuàng)新度、效度或是區(qū)分度，都達(dá)到了很高的標(biāo)準(zhǔn)，特別是創(chuàng)新度，很好地考查了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決實(shí)際問題的綜合能力，達(dá)到了高考的選拔性功能和目的.在新高考原題的啟發(fā)下，我們要應(yīng)用適當(dāng)?shù)闹v解方法，積極引導(dǎo)學(xué)生深度思考和剖析試題，從通法到秒殺，由點(diǎn)及面地把握新高考的脈絡(luò).

2 先通法后秒殺

2.1 2021年全國新高考Ⅱ卷第12題

2.1.1 題目及分析

設(shè)正整數(shù)n=a0·20+a1·21+…+ak-1·2k-1+ak·2k,其中ai∈{0,1}(i=0,1,2,…,k),記ω(n)=a0+a1+…+ak，則( ).

A.ω(2n)=ω(n) B.ω(2n+3)=ω(n)+1

C.ω(8n+5)=ω(4n+3) D.ω(2n-1)=n

試題分析：考生可以先觀察表達(dá)式n=a0·20+a1·21+…+ak-1·2k-1+ak·2k的特點(diǎn)，ω(n)=a0+a1+…+ak實(shí)際上是每項(xiàng)2n(n=1,2,3,…,k)前的系數(shù)和，并結(jié)合選項(xiàng)做適當(dāng)?shù)淖儞Q，得出表達(dá)式中的系數(shù)和，即可自然而然地得出正確答案.其思維導(dǎo)圖如圖1.

圖1

實(shí)際上，在基數(shù)b的位置記數(shù)系統(tǒng)(其中b是一個(gè)正自然數(shù)，叫做基數(shù))，b個(gè)基本符號(hào)(或者叫數(shù)字)對(duì)應(yīng)于包括0的最小b個(gè)自然數(shù).要產(chǎn)生其他的數(shù)，符號(hào)在數(shù)中的位置要被用到.最后一位的符號(hào)用它本身的值，向左一位其值乘以b.一般來講，若b是基底，我們在b進(jìn)制系統(tǒng)中的數(shù)表示為a0·b0+a1·b1+…+ak-1·bk-1+ak·bk的形式，并按次序?qū)懴聰?shù)字a0a1…ak-1ak.這些數(shù)字是0到b-1的自然數(shù).

一般來講，b進(jìn)制系統(tǒng)中的數(shù)有如下形式：

數(shù)bk和b-k是相應(yīng)數(shù)字的比重.

2.1.2 具體解答

通法1：因?yàn)?n=0·20+a0·21+a1·22+…+ak-1·2k+ak·2k+1，所以有ω(2n)=0+a0+a1+…+ak-1+ak=ω(n)，故A答案正確；

當(dāng)n=2時(shí)，2n+3=7=1·20+1·21+1·22，所以ω(7)=3，又2=0·20+1·21，所以有ω(2)=0+1=1，于是有ω(7)≠ω(2)+1，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)?n+5=a0·23+a1·24+…+ak-1·2k+2+ak·2k+3+5=1·20+0·21+1·22+a0·23+a1·24+…+ak-1·2k+2+ak·2k+3，

所以ω(8n+5)=a0+a1+…+ak+2，又4n+3=a0·22+a1·23+…+ak-1·2k+1+ak·2k+2+3=1·20+1·21+a0·22+a1·23+…+ak-1·2k+1+ak·2k+2，所以ω(4n+3)=a0+a1+…+ak+2=ω(8n+5)，故C選項(xiàng)正確；

因?yàn)?n-1=1·20+1·21+1·22+…+1·2n-2+1·2n-1，所以ω(2n-1)=n，故D選項(xiàng)正確.

綜上所述，故選：ACD.

通法2：根據(jù)二進(jìn)制計(jì)數(shù)法則可知，任何正整數(shù)n=(akak-1…a1a0)2，均可用二進(jìn)制加權(quán)系數(shù)的形式表示.如5=(101)2=1×20+0×21+1×22，即任何正整數(shù)n都可以表示2k的多項(xiàng)式，ω(n)=a0+a1+…+ak表示其系數(shù)的和，理解上述這兩點(diǎn)，則

2n=0·20+a0·21+a1·22+…+ak-1·2k

+ak·2k+1,

于是ω(2n)=0+a0+a1+…+ak-1+ak=ω(n).選項(xiàng)A正確；

因?yàn)?n+3=1×20+a0·21+a1·22+…+ak-1·2k+ak·2k+1+2,所以選項(xiàng)B不正確；

因?yàn)?n+5=1·20+0·21+1·22+a0·23+a1·24+…+ak-1·2k+2+ak·2k+3,所以ω(8n+5)=ω(n)+2,4n+3=1·20+1·21+a0·22+a1·23+…+ak-1·2k+1+ak·2k+2,所以ω(4n+3)=ω(n)+2.選項(xiàng)C正確；

秒殺法：因?yàn)閚=(akak-1…a1a0)2，則2n=(akak-1…a1a00)2，于是ω(2n)=ω(n),A正確；

2n+3=(akak-1…a1a00)2+3=(akak-1…a1a01)2+2，當(dāng)a0=0,ω(2n+3)=ω(n)+2,所以B不正確；

8n+5=(akak-1…a1a0000)2+1·22+0·21+1·20=(akak-1…a1a0101)2，4n+3=(akak-1…a1a000)2+1·21+1·20=(akak-1…a1a011)2，所以C正確；

教學(xué)啟示：2021年作為海南新高考的第二年考了這么一道題，實(shí)屬意料之外，又確在情理之中，如醍醐灌頂般給了我們中學(xué)一線教師很多啟發(fā).倘若在教學(xué)中只停留于課本教常規(guī)的知識(shí)點(diǎn)已很難滿足現(xiàn)實(shí)的需求，一昧的灌輸也很難適應(yīng)現(xiàn)在的考題，這也不符合新課改提倡的培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的要求.授人魚更要授人以漁，在對(duì)這一類型題目的講解教學(xué)過程中，研討式教學(xué)法可以很好地發(fā)揮作用，便于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，舉一隅以三隅，立足于學(xué)生的發(fā)展，有利于學(xué)生構(gòu)建自己的知識(shí)框架，將學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)提煉出思想并內(nèi)化為能力，這于學(xué)生的終身發(fā)展至關(guān)重要.

2.2 2021年全國新高考Ⅱ卷第16題

2.2.1 題目

2.2.2 思維導(dǎo)圖

其解法的思維導(dǎo)圖如圖2所示.

圖2

2.2.3 具體解答

圖3

圖4

秒殺法：如圖4，因?yàn)閮蓷l切線相互垂直，有kAM×kBN=-ex1ex2=-ex1+x2=-1?x1+x2=0?x1=-x2.過A,B兩點(diǎn)分別做y軸的垂線，垂足分別為Q,P，于是有AQ=PB，∠ARN=∠NPB，且有∠NMR=∠NBP，又有對(duì)頂角∠NMR=∠AMQ，故△AMQ∽△NBP.

3 總結(jié)

雖然數(shù)學(xué)解題方法千變?nèi)f化，但是方法只有繁簡之分而無好壞之別，畢竟條條大路通羅馬.在日常的課堂教學(xué)中往往復(fù)雜的解法能獲得意料不到的效果，能做到有效地鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，能很好地培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，這對(duì)學(xué)生獲得扎實(shí)的運(yùn)算能力助益良多，甚至?xí)l(fā)學(xué)生思索出更加簡潔且有創(chuàng)造性的方法.新課改提倡教師角色應(yīng)當(dāng)由“教書匠”轉(zhuǎn)化為“研究者”，由“指導(dǎo)者”轉(zhuǎn)化為“促進(jìn)者”等等.在日常的數(shù)學(xué)課堂上應(yīng)用研討學(xué)教法，于關(guān)鍵處啟發(fā)學(xué)生，于學(xué)生于教師均收獲良多，教師更應(yīng)該是學(xué)生學(xué)習(xí)的合作者，不斷與時(shí)俱進(jìn)，化作一眼活泉，為學(xué)生涌現(xiàn)出更加豐富多彩的數(shù)學(xué)知識(shí)和繽紛世界.Z