2021年全國乙卷理科第21題探析與思考

?滿洲里遠方中學 王 彬 金 銘

1 引言

2021年全國乙卷理科數學第21題是“切點弦”，“直曲聯立”，“點到直線距離”，“二次函數最值”問題，題目難度中等偏上屬于綜合性強的題型.第一問計算出p難度較低，第二問難度中等偏上計算量較大，在實際的教學展示過程中，需要將第二問作為解析教學的重點進行展示，幫助學生找出有效解答的方法.

2 試題呈現

圖1

如圖1，已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點F，且F與圓M:x2+(y+4)2=1上點的距離的最小值為4.

(1)求p；

(2)若點P在M上，PA,PB是C的兩條切線，A,B是切點，求△PAB面積的最大值.

3 解法探析

3.1 第二小題的常用解法及評析

由于涉及切點問題，常見思路如下思維導圖(圖2),并以此探究第二小題的幾種思路：第一是通性通法,設點的坐標，求切點弦所在直線，聯立拋物線方程轉化成含參的一元二次方程，求出弦長再利用點到直線距離公式求出三角形高最后求出最大面積；第二種是設直線方程與拋物線聯立方程，利用韋達定理求出弦長，利用切線方程求兩條切線公共點的坐標，再利用點到直線距離公式求出三角形面積最大值.

圖2

3.2 通性通法

思路1用如下思維導圖(圖 3)來表示：

圖3

設點A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).

x1x-2y1-2y=0.

同理，直線PB的方程為x2x-2y2-2y=0.

由于點P為直線PA，PB的公共點，則

所以，直線AB的方程x0x-2y-2y0=0.

x2-2x0x+4y0=0.

由韋達定理，可得x1+x2=2x0,x1x2=4y0.

Δ=16(k2+b)>0,

又x1+x2=4k,x1x2=-4b,所以

則P(2k,-b).

因為點P在M上，所以4k2+(4-b)2=1,于是-1≤4-b≤1,即3≤b≤5，則

4k2+4b=-b2+12b-15=-(b-6)2+21≤-(5-6)2+21=20.

所以，當b=5時(4k2+4b)取得最大值，此時滿足k2+b>0,所以

在解法1求值過程中計算量大，解法2則要求學生掌握二次函數求最值問題，因此考慮學生知識掌握的程度要降低此題難度，給出解法3和解法4.

圖4

圖5

由Δ=0知，16k2-4×1×(4ka-4b)=0?k2-ak+b=0.

設直線PA,PB的斜率分別為k1,k2.

所以AB方程為

評析：此法雖然運用學生所掌握的參數法，但在求弦長時運算量仍然很大，多數學生在計算過程中可能出現錯誤.

3.2 秒殺法

x1x-2y1-2y=0.

同理，直線PB的方程為x2x-2y2-2y=0.

所以同構lAB:mx=2(y+n).

所以

因為P在圓上，所以m2+(n+4)2=1，即m2=1-(n+4)2,所以

評析：由圓錐曲線切線切點弦理論的解題思路，通過簡單的運算、推理找到問題的正確答案，達到減縮思維過程、降低推算難度的目的.

4 總結

本題在知識點方面考查圓與拋物線的方程、性質及三角形面積的最值，具有一定的難度，在學生能力考查上則指向邏輯推理及數學運算的核心素養.其中邏輯推理的考查體現在拋物線、直線方程的求解和三角形面積最大值的確定上，而數學運算則主要體現在第二問.學生在該題目的解答過程中需要注意的關鍵點為P在圓上，其橫坐標與縱坐標的范圍有著一定的限制.若這一點被忽視，就很容易出現解答錯誤.教師在教學也需要強調，在解析幾何中求與動點或動直線有關的三角形面積最值，一般需要先把面積表示為某個變量的函數，再利用函數性質或均值不等式求最值.Z