研究高考真題 領(lǐng)悟命題立意 號準(zhǔn)考向脈搏

?四川省雙流中學(xué)(文衛(wèi)星工作室) 曾月波 曹軍才

1 引言

波利亞指出：解題的價值不是答案的本身，而在于弄清“是怎樣想到這個解法的？”、“是什么促使你這樣想，這樣做的？”筆者以2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)甲卷第21題為例，從試題題型、背景、設(shè)問方式到問題解答多角度領(lǐng)悟命題立意，準(zhǔn)確把握考向脈搏，突出思維導(dǎo)圖在解題中的應(yīng)用，不僅給出常規(guī)(通法)解法而且還給出簡捷(秒殺)解法.

2 真題呈現(xiàn)

(1)當(dāng)a=2時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個交點,求a的取值范圍.

3 試題分析

圖1

4 試題解析

圖2

所以,如圖2，要函數(shù)y=g(x)(x>0)有且僅有兩個零點,必須且只需

所以,當(dāng)x∈(1,e)時,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(e,+∞)時,h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減；

圖3

當(dāng)x=e時,h′(x)=0,h(x)取得極大值，最大值

即當(dāng)a∈(1,e)∪(e,+∞)時,函數(shù)y=g(x)(x>0)有且僅有兩個零點.

②當(dāng)00在(0,+∞)上恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

從而,函數(shù)y=g(x)在(0,+∞)上不可能有兩個零點.

綜上①、②,要曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個交點,a的取值范圍是(1,e)∪(e,+∞).

?方程xa=ax(x>0)有且僅有兩解

?方程alnx=xlna(x>0)有且僅有兩解.

設(shè)g(x)=alnx-xlna(x>0,a>0,a≠1),即等價于函數(shù)y=g(x)有且僅有兩個零點.

①當(dāng)a>1時，

以下同通法1.

設(shè)r(t)=t-1-lnt(t>0),則

所以,當(dāng)t∈(0,1)時,r′(t)<0,r(t)單調(diào)遞減；

當(dāng)t∈(1,+∞)時,r′(t)>0,r(t)單調(diào)遞增.

因此r(t)的最小值為r(1)=0,所以不等式t-1-lnt>0的解集為(0,1)∪(1,+∞).

從而a的取值范圍是(1,e)∪(e,+∞).

②當(dāng)00在(0,+∞)上恒成立,g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

因此,函數(shù)y=g(x)在(0,+∞)上不可能有兩個零點.

綜上①、②,要曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個交點,a的取值范圍是(1,e)∪(e,+∞).

點評:通法2把原問題等價轉(zhuǎn)化成函數(shù)g(x)=alnx-xlna的零點問題.多次轉(zhuǎn)化，化歸難度增加，同時運算能力要求也高，秒殺1利用換元法，進(jìn)一步化歸，把問題轉(zhuǎn)化成以經(jīng)典切線不等式x-1≥lnx為背景的問題，從而更易解決.同樣還涉及到分類與整合、函數(shù)與方程、函數(shù)極限等數(shù)學(xué)思想.

?方程xa=ax(x>0)有且僅有兩解

?方程alnx=xlna(x>0)有且僅有兩解

所以，當(dāng)x∈(0,e)時,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(e,+∞)時,h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)a∈(0,e)時,g′(a)<0,g(a)單調(diào)遞減；

當(dāng)a∈(e,+∞)時,g′(a)>0,g(a)單調(diào)遞增；

當(dāng)a=e時,g′(e)=0.

所以,h(x)在x∈(0,e)上有唯一零點；

所以,當(dāng)0

②當(dāng)1

圖4

所以,當(dāng)1

③當(dāng)a=e時,

所以,h(x)在(0,+∞)上有唯一零點,不合題意.

④當(dāng)a>e時,當(dāng)x∈(e,+∞)時,h(x)單調(diào)遞減且h(a)=0,所以,h(x)在x∈(e,+∞)上有唯一零點；

當(dāng)x∈(0,e)時,h(x)單調(diào)遞增，且

圖5

所以存在唯一x0∈(0,e),使得h(x0)=0.

即h(x)在x∈(0,e)上有唯一零點.

所以,當(dāng)a>e時,h(x)在(0,+∞)上有兩個零點,符合題意.(如圖5)

綜上所述,要曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個交點,a的取值范圍是(1,e)∪(e,+∞).

?方程xa=ax(x>0)有且僅有兩解

?方程alnx=xlna(x>0)有且僅有兩解

所以，當(dāng)x∈(0,e)時,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(e,+∞)時,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞減；

圖6

秒殺法3：原問題

?方程xa=ax(x>0)有且僅有兩解

?方程alnx=xlna(x>0)有且僅有兩解

圖7

以下同通法1.

5 總結(jié)與感悟

本題初看函數(shù)結(jié)構(gòu)新穎,細(xì)看實則熟悉，再做又感陌生；函數(shù)以冪函數(shù)為分子,指數(shù)函數(shù)為分母的分式型結(jié)構(gòu)呈現(xiàn),雖然兩類函數(shù)背景熟悉,但以分式型結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)又覺新穎,又體現(xiàn)了高考命題的創(chuàng)新性.兩個問題設(shè)置常規(guī),難度呈現(xiàn)遞進(jìn)式有層次性，第(1)問起點低入手易,讓基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生有成就感,充分體現(xiàn)了高考命題的基礎(chǔ)性與人文關(guān)懷；第(2)問注重梯度,由“知識立意”到“能力立意”,凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì),讓優(yōu)秀學(xué)生能夠脫穎而出，高考命題的綜合性、應(yīng)用性.

從題型角度而言,研究兩函數(shù)圖象交點(個數(shù))的問題是常規(guī)題型,一般可以轉(zhuǎn)化成研究相應(yīng)方程根的問題,進(jìn)而轉(zhuǎn)化成研究函數(shù)的零點問題,常常涉及函數(shù)與方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.再觀2021年文理科導(dǎo)數(shù)題,雖然函數(shù)模型不同、難度不同,但問題背景實則相同.Z