一道聯(lián)合協(xié)作體高考模擬最值題的破解及拓展

?安徽省蒙城縣第二中學 丁云婷

1 引言

關于一些多參數(shù)(至少三個及以上)的代數(shù)式的最值問題，往往涉及輪換式，參數(shù)眾多，抓住代數(shù)式的特征，從一個角度切入，從輪換式的特征進行合理對稱處理，利用不等式特征，合理構(gòu)建數(shù)學模型，有效破解最值問題．

2 問題呈現(xiàn)

3 問題剖析

此題是一道關于多參數(shù)的不等式問題，結(jié)合多參數(shù)的分式之和為定值給出對應的條件，進而確定多參數(shù)之積的最值問題，主要考查學生推理論證能力，運算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想，突出邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)．

其實，確定此類不等式的最值問題的核心就是取“等號”的條件，解決小題(選擇題或填空題)時，一般可以借助“先猜后證”的思維方式來處理，根據(jù)對稱性和猜測確定取“等號”的條件為a1=a2=…=a2 020=4 038，進而再進行分析與處理．

取“等號”的條件確定多參數(shù)的最值問題只是一種特殊的思想方法，要根據(jù)相應參數(shù)之間的等價或輪換條件來合理取“等號”，對于不具有等價或輪換條件時，盲目取“等號”會直接導致錯誤．取“等號”要謹慎合理，進一步的驗證與推理是保證正確性的唯一方式，也是進一步提升準確率的基本步驟．

4 問題破解

方法1：均值不等式法.

解析：由題可得

同理可得

將以上2 020個不等式同向累乘，可得

解得a1a2…a2 020≥4 0382 020，當且僅當a1=a2=…=a2 020=4 038時等號成立.

故填答案：4 0382 020．

點評:結(jié)合多參數(shù)條件關系式對其中一個參數(shù)移項進行變形處理，利用均值不等式進行合理放縮，同理對其他參數(shù)進行一樣的放縮處理，結(jié)合相應不等式的同向累乘，進行變形轉(zhuǎn)化，得以確定對應代數(shù)式的最值問題．利用均值不等式法加以處理，直接有效，也是處理此類問題最為常見的基本思維方法．

方法2：代數(shù)換元法.

根據(jù)均值不等式，可得

對以上2 020個不等式同向累乘，可得

故填答案：4 0382 020．

點評:結(jié)合多參數(shù)條件關系式的恒等變形，通過代數(shù)換元處理，對原問題進行熟知化轉(zhuǎn)化與處理，結(jié)合均值不等式進行合理放縮，結(jié)合相應不等式的同向累乘，利用所轉(zhuǎn)化的新問題，得以確定對應代數(shù)式的最值問題．代數(shù)換元處理，將問題熟知化處理，是處理一些創(chuàng)新、陌生問題中比較常用的技巧方法．

方法3：三角換元法.

那么a1a2…a2 020

=22 020(tan2θ1·tan2θ2·…·tan2θ2 020)

=22 020·2 0192 020

=4 0382 020.

當且僅當cos2θ1=cos2θ2=…=cos2θ2020，即a1=a2=…=a2 020=4 038時等號成立.

故填答案：4 0382 020．

點評:結(jié)合多參數(shù)條件關系式的恒等變形，通過三角換元處理，對原問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題來分析與處理，結(jié)合均值不等式對三角關系式進行合理放縮，進而得以確定對應代數(shù)式的最值問題．三角換元處理，是破解最值問題中的一種常見技巧，也為問題的進一步推廣與拓展具有一定的參考與應用價值．

5 變式拓展

探究1：保留原來的問題背景，結(jié)合破解問題的三角換元法處理的應用與歸納，將問題進行一般化升華與提升，變特定常數(shù)為更一般的常數(shù)，化特殊為一般，得到以下相應的變式問題．

具體破解過程可以參考以上問題中的相關方法，得到對應的答案：mn(n-1)n．具體的破解方法與過程直接參考以上問題的破解過程即可．特別當m=2，n=2 020時，就是原來的問題，對應代數(shù)式的最小值就是mn(n-1)n=22 020×(2 020-1)2 020=4 0382 020．

特別地，在變式1的背景中，取常數(shù)m=1，是以上問題的一個特例，可得到一個比較常見的最值問題.

對應答案為：(n-1)n．這就是一個比較常規(guī)的數(shù)學問題，往往以n=3或是相近的數(shù)字形式出現(xiàn)，在一些競賽題中有其影子．

6 教學啟示

此類涉及多參數(shù)代數(shù)式且與不等式有關的最值問題，創(chuàng)新新穎，變化多端，難度適中，解法多樣，是高考或聯(lián)賽中比較常見的重點與難點，主要考查學生綜合運用不等式思想解決問題的能力．

6.1 借助不等式思維切入

抓住多參數(shù)的輪換變化規(guī)律，結(jié)合已知條件中的多參數(shù)代數(shù)式的特征，通過代數(shù)式的恒等變換與巧妙運算，結(jié)合不等式思維，特別是基本不等式、均值不等式以及一些不等式的基本性質(zhì)等加以合理應用．

6.2 建立熟知數(shù)學模型

對于一些比較陌生或創(chuàng)新的數(shù)學問題，經(jīng)常可以利用換元處理等思維方式，化陌生為熟知，借助已有熟知的數(shù)學模型加以分析或處理．這種轉(zhuǎn)換過程就是一個對問題重新加工、理解與應用的過程，也是已有數(shù)學模型的應用．從而更加有效地形成良好的數(shù)學品質(zhì)，提高數(shù)學能力，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)．Z