混合Lebesgue空間中平移不變信號的隨機采樣穩定性

李 婉， 蔣英春

(桂林電子科技大學 數學與計算科學學院，廣西 桂林 541004)

采樣理論是信號處理中一個重要的研究內容。經典的Shannon采樣定理指出，當采樣間隔充分小時，帶限信號可以從均勻樣本中重構[1]。實際處理中的信號往往具有隨機特性，因而隨機采樣方式引起了不少學者的研究興趣。

近年來，已有不少學者對隨機采樣理論進行了研究。2004年，Bass等[2]研究了多元三角多項式的隨機采樣問題，并估計了相關的Vandermonde型和Toeplitz類矩陣條件數的概率分布。隨后，Bass等[3]研究了帶限信號的相關采樣。2013年，Yang等[4]研究了單生成平移不變空間中信號的隨機采樣問題，證明了當樣本點足夠多時，能量集中子集中信號的采樣穩定性以高概率成立。2019年，Yang[5]研究了多生成平移不變空間中信號的隨機采樣問題，建立了能量集中信號的采樣不等式，并構造了有限維子空間中信號的重構算法。同年，Rühr等[6]對有限生成的平移不變空間中信號的相關采樣進行了研究，證明了當R充分大時，選取O(Rnlog(R))個隨機樣本點，可高概率地得到能量集中子集上的一個穩定采樣集。2020年，Lu等[7]研究了有限信息率空間中信號的非均勻隨機采樣和重構問題。同年，Patel等[8]對再生核空間中信號的隨機采樣展開研究，證明了在積分核滿足衰減性情況下，均勻分布在有界方體上的隨機樣本可以高概率地構成方體上能量集中信號的穩定采樣集，并建立了有限維子空間中信號的重構算法。

經典信號空間中隨機采樣理論的研究已經取得了豐碩的研究成果，但信號只能定義在時域或空域中，而實際信號多是時變的，即同時存在于時域和空域?；旌螸ebesgue空間對不同變量具有分離可積性，是測量時變信號的一個有力工具。1961年，Benedek等[9]對混合Lebesgue空間進行了詳細的描述。隨后，不少學者又從調和分析和算子理論的角度對混合Lebesgue空間做了進一步的研究[10-11]。

為了處理高維時變信號，經典Lebesgue空間中帶限信號和平移不變信號的許多結論被推廣到混合Lebesgue空間的相應子空間中[12-16]，但卻并未涉及平移不變信號的隨機采樣理論。采樣理論的一個重要內容是找到穩定的采樣集重構信號。因此，對混合Lebesgue空間中平移不變信號的隨機采樣穩定性展開研究。

1 預備知識

令Lp,q(R×Rd)(1≤p,q<∞)為混合Lebesgue空間，即

Lp,q(R×Rd)={f∶‖f‖Lp,q(R×Rd)<∞}，

其中，

當p,q=∞時，定義

p,q(Z×Zd)={c∶‖c‖lp,q(Z×Zd)<∞}，

其中，

當p,q=∞時，定義

混合Lebesgue空間Lp,q(R×Rd)的平移不變子空間Vp,q(φ)定義為

(1)

其中，1

對于式(1)中的生成元φ,假設其滿足如下條件：

1)φ在某個有界區域上緊支，即對任意的r1,r2>0，supp(φ)?[-r1,r1]×[-r2,r2]d;

2)φ的平移是穩定的，即存在2個正常數cp,q、Cp,q，使得對任意的c∈p,q(Ζ×Ζd)有

(2)

對充分大的K1,K2>0及δ∈(0,1)，定義Vp,q(φ)的子集為

(1-δ)‖f‖Lp,q(R×Rd)}。

(3)

其中，CK1,K2=[-K1,K1]×[-K2,K2]d，且

‖f‖Lp,q(CK1,K2)=

定義

(4)

其中，f|CK1,K2表示將f限制在方體CK1,K2上。

覆蓋數作為一個重要的數學概念，在估計概率誤差及給定置信度和誤差范圍所需的樣本數方面具有重要的應用。設S是一個度量空間，且η>0，稱以η為半徑覆蓋S的最小圓盤個數m為S的覆蓋數，記作N(S,η)，其中m∈Ν。特別地，當S緊支時，m<∞。

證明令ZK1,r1=Z∩[-K1-r1,K1+r1]，

f(x,y)=g(x,y)|χCK1,K2=

其中，(x,y)∈CK1,K2。

因此，

[2K1+2r1+1][2K2+2r2+1]d。

一方面，利用式(2)可得

‖f‖Lp,q(CK1,K2)=

另一方面，

‖f‖Lp,q(CK1,K2)=‖g‖Lp,q(CK1,K2)≤‖g‖Lp,q(R×Rd)=1，

k2)φ(x-k1,y-k2)‖Lp,q(R×Rd)≥

(5)

‖f‖Lp,q(CK1,K2)≥(1-δ)‖f‖Lp,q(R×Rd)≥

(1-δ)cp,q‖c‖lp,q。

(6)

注意到‖c‖≤‖c‖，結合式(5)、(6)，可得

為簡單起見，使用記號

(7)

利用引理3，可得

個元素，所以式(7)成立。

設Z={(xi,yj)∶i,j∈Ν}是均勻分布在CK1,K2上的獨立同分布的隨機變量序列。對任意的f∈Vp,q(φ)，定義新的隨機變量

?CK1,K2|f(x,y)|dxdy，

(8)

其中，i,j∈Ν。易知，{Zi,j(f)∶i,j∈Ν}是一個獨立隨機變量序列，且期望值E(Zi,j(f))=0。

1)‖Zi,j(f)‖≤c*；

2)‖Zi,j(f)-Zi,j(g)‖≤2‖f-g‖L∞,∞(CK1,K2)；

3)Var(Zi,j(f))≤(c*)2；

4)Var(Zi,j(f)-Zi,j(g))≤2c*‖f-g‖L∞,∞(CK1,K2)。證明因

由引理3可得

‖f‖L∞,∞(CK1,K2)≤c*‖f‖Lp,q(CK1,K2)≤

c*‖f‖Lp,q(R×Rd)=c*。

1)由式(8)可得

2‖f-g‖L∞,∞(CK1,K2)。

3)利用方差的定義及E[Zi,j(f)]=0，可得

4)用與3)相同的方法可得

Var(Zi,j(f)-Zi,j(g))=E((Zi,j(f)-Zi,j(g))2)-

(E(Zi,j(f)-Zi,j(g)))2=

E((|f(xi,yj)|-|g(xi,yj)|)2)-

(|f(x,y)|+|g(x,y)|)dxdy≤

?CK1,K2(|f(x,y)|+|g(x,y)|)dxdy≤

2c*‖f-g‖L∞,∞(CK1,K2)。

與經典的Bernstein不等式[18]類似，下述二元隨機變量的Bernstein不等式成立。

引理6令Zi,j為獨立隨機變量,且E[Zi,j]=0，i=1,2,…,n;j=1,2,…,m。假設Var(Zi,j)≤σ2，且|Zi,j|≤M對幾乎所有的i=1,2,…,n和j=1,2,…,m都成立，則對任意的λ≥0，

證明給定∈Ν，構造關于的2網。

令C為相應的2網，其中=1,2,…,則C的基數至多為

‖f-f‖L∞,∞(CK1,K2)≤2→0。

由引理5的步驟2)可知，

Zi,j(f)=Zi,j(f1)+(Zi,j(f2)-Zi,j(f1))+

(Zi,j(f3)-Zi,j(f2))+…。

‖f-f‖L∞,∞(CK1,K2)≤3×2滿足

反之，取f0=0，可得

與假設矛盾。

對于每個固定的f∈C1，利用引理5的步驟1)和3)及引理6，可得

進一步地，利用引理4，可得C1中的元素至多為

個。因此，

P(ω1)≤2exp(2K1+2r1+1)(2K2+2r2+1)d×

‖f-f‖L∞,∞(CK1,K2)≤3×2，

有

進一步地，由引理4可知，

其中#(C)和#(C)分別為C和C中元素的個數。因此，事件的概率為

(9)

則

首先，考慮情形

(10)

利用條件(10)可得

那么，結合ω1的概率可得

最后，考慮

的情形。在這種情況下，可選取

使得

成立。結合上述2種情形，結論成立。

A‖f‖Lp,q(R×Rd)≤

‖{f(xi,yj)}i=1,2,…,n;j=1,2,…,m‖≤

B‖f‖Lp,q(R×Rd)

(11)

至少以概率

成立，其中，

的補集為

一方面，

‖{f(xi,yj)}i=1,2,…,n;j=1,2,…,m‖lp,q≤

m1-1/qn1-1/p‖{f(xi,yj)}i=1,2,…,n;j=1,2,…,m‖lp,q。

另一方面，

‖f‖L1,1(CK1,K2)≤(2K1)1-1/p(2K2)d(1-1/q)‖f‖Lp,q(CK1,K2)。

1-δ≤‖f‖Lp,q(CK1,K2)≤1。

因此，事件

4 結束語

研究了混合Lebesgue空間的單生成平移不變子空間中信號的隨機采樣問題。在生成元滿足緊支性和平移穩定性的條件下，證明了當采樣點足夠多時，能量集中信號的采樣穩定性以高概率成立。這表明信號f可以從采樣集中穩定地重構，但本研究并未討論信號的重構算法。對于信號的重構問題及較復雜的多生成，生成元衰減的情形，后續將做進一步研究。