“雞兔同籠”問(wèn)題中的數(shù)學(xué)思想方法

?李 麗

義務(wù)教育教科書(shū)人教版四年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第9單元——數(shù)學(xué)廣角安排了“雞兔同籠”問(wèn)題，“雞兔同籠”問(wèn)題是我國(guó)民間廣為流傳的數(shù)學(xué)趣題，最早出現(xiàn)在古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中。把這個(gè)問(wèn)題引入小學(xué)教材中，一方面讓學(xué)生感受我國(guó)古代的數(shù)學(xué)文化；另一方面引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中，體驗(yàn)不同的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

我們一起來(lái)看看“雞兔同籠”問(wèn)題中隱含了哪些重要的數(shù)學(xué)思想方法，如何有效滲透這些數(shù)學(xué)思想方法？

一、化繁為簡(jiǎn)的思想

“雞兔同籠”的原題數(shù)據(jù)比較大，不利于首次接觸該類(lèi)問(wèn)題的學(xué)生進(jìn)行探究。因此教材先編排了例1，“我們可以從簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個(gè)頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？”通過(guò)化繁為簡(jiǎn)的策略，引導(dǎo)學(xué)生探究解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)了解決該類(lèi)問(wèn)題的一般方法后，再解決數(shù)據(jù)較大的原題。

二、猜測(cè)和窮舉的思想

我們?cè)诮鉀Q某些問(wèn)題時(shí)，一時(shí)找不出數(shù)據(jù)間明顯的數(shù)量關(guān)系，可以進(jìn)行猜測(cè)，再進(jìn)行驗(yàn)證和調(diào)整。在解決有關(guān)計(jì)數(shù)問(wèn)題的過(guò)程中，當(dāng)需要計(jì)算的次數(shù)不多時(shí)，可以把所有對(duì)象一一列舉出來(lái)，這種方法叫做窮舉法，或叫枚舉法、列舉法。

出示例1后，教師問(wèn)：“我們可以猜一猜有幾只雞？幾只兔？”學(xué)生猜“3只兔，5只雞”“4只兔，4只雞”……當(dāng)然，猜測(cè)的結(jié)果需要進(jìn)行驗(yàn)證。

教師再引導(dǎo)：按照順序列表試一試：

雞8 7 6 5 4 3兔0 1 2 3 4 5腳16 18 20 22 24 26

三、優(yōu)化的思想

優(yōu)化思想是個(gè)一般化的思想方法，在教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生體驗(yàn)到在解決問(wèn)題的過(guò)程中，可能出現(xiàn)多種方法和策略，通過(guò)學(xué)生的自主探索和合作交流，感受不同解題方法的優(yōu)劣。

有的學(xué)生感覺(jué)一一列舉很麻煩，希望可以精簡(jiǎn)次數(shù)、優(yōu)化列表。第一次猜測(cè)后，觀察猜測(cè)腳的只數(shù)與實(shí)際腳的只數(shù)相差多少只？再一步調(diào)整到位。如有學(xué)生先猜4只雞、4只兔共有：4×2＋4×4＝24只腳，比實(shí)際腳的只數(shù)少了2只腳，只需要減少1只雞增加1只兔就可以得到26只腳了：3×2＋5×4＝26。

也有學(xué)生先猜8只雞、0只兔共16只腳，比實(shí)際腳的只數(shù)少了10只，每增加1只兔減少1只雞會(huì)多2只腳，10只腳則需要增加5只兔減少5只雞，即3只雞和5只兔共26只腳。

這種優(yōu)化列表法是在一一列舉的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理，通過(guò)調(diào)整得出結(jié)論，慢慢靠近假設(shè)的思想方法。

四、數(shù)形結(jié)合的思想

“數(shù)形結(jié)合思想就是通過(guò)數(shù)和形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題的思想方法。”［1］

我們可以畫(huà)圖來(lái)分析，利用圖形更直觀地理解數(shù)量之間的關(guān)系，從而解決問(wèn)題。

例1：

第一步：可以先畫(huà)8個(gè)圓圈表示8個(gè)頭；

第二步：每個(gè)頭都添上2只腳，8個(gè)2只腳，即8×2＝16只腳；

第三步：看看剩下的腳怎么添，現(xiàn)在還有26--16=10只腳，一只動(dòng)物只能再添上2只腳，因?yàn)橥米邮?只腳，已經(jīng)有2只腳了，4--2=2只；再逐一在幾只動(dòng)物上各添2只腳，10只腳，一只動(dòng)物能添2只，10只里面有5個(gè)2只，10÷2=5只，這5只就是兔子了；所以有5只兔，3只雞。

五、假設(shè)的思想

假設(shè)法是更具邏輯性和一般性的解決，是解決“雞兔同籠”問(wèn)題的較為普遍的一種解法，是一個(gè)假設(shè)——計(jì)算——推理——解答的過(guò)程。

例如，在本例題中，可用假設(shè)法：

（1）假設(shè)有8只兔子，那么就有8×4＝32只腳，這樣就多了32--26＝6只腳。

（2）一只兔比一只雞多2只腳，也就是有6÷2＝3只雞。

（3）所以籠子里有3只雞，5只兔。

還可以這樣想：

（1）假設(shè)有8只雞，那么就有8×2＝16只腳，這樣就少了26--16＝10只腳。

（2）一只雞比一只兔少2只腳，也就是有10÷2＝5只兔。

（3）所以籠子里有3只雞，5只兔。

另外，教材中介紹的“閱讀資料”中的抬腳法其實(shí)也是一種假設(shè)法。

六、方程的思想

在解決“雞兔同籠”的問(wèn)題中，方程的思想慢慢淡化了，原來(lái)的教材“雞兔同籠”問(wèn)題是放在六年級(jí)教材中呈現(xiàn)的，主要就講列方程的方法，但解方程的過(guò)程比較復(fù)雜，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)感覺(jué)難度比較大，所以新的教材把這一問(wèn)題放入四年級(jí)下冊(cè)中呈現(xiàn)，其目的是淡化方程的思想，用列表法、假設(shè)法等方法去解決這類(lèi)問(wèn)題，但初中的教材中又重提這類(lèi)題，要求用方程解決這個(gè)問(wèn)題。所以，在六年級(jí)的復(fù)習(xí)中，也可以讓學(xué)生用方程的思想試著解決“雞兔同籠”的問(wèn)題。

七、模型的思想

“數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)的模型思想是一般化的思想方法，數(shù)學(xué)模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)式、圖形和圖表，因而它與符號(hào)化思想有很多相通之處。［2］”

解決“雞兔同籠”問(wèn)題的方法很多，各種方法之間密切聯(lián)系。很多方法的思考過(guò)程其實(shí)就是假設(shè)法的思考過(guò)程。

如列表法，優(yōu)化列表法的思考過(guò)程就是假設(shè)法的思考過(guò)程：第一次猜測(cè)后，通過(guò)推理分析，第二步調(diào)整到位。

如：先猜8只雞、0只兔共16只腳，比實(shí)際腳的只數(shù)少了10只，每增加1只兔減少1只雞會(huì)多2只腳，10只腳則需要增加5只兔減少5只雞，即3只雞和5只兔共26只腳。這一推理、調(diào)整的過(guò)程其實(shí)也就是假設(shè)法，假設(shè)有8只雞，通過(guò)計(jì)算、推理，解答出問(wèn)題。

再如：畫(huà)圖法和假設(shè)法的思考過(guò)程其實(shí)也是差不多的：畫(huà)圖時(shí)也需要計(jì)算、推理，第一步畫(huà)了8個(gè)頭；第二步，給每個(gè)頭畫(huà)了兩只腳。這也就是假設(shè)有8只雞，共畫(huà)了16只腳，還差10只腳，一只雞換成一只兔還要添上2只腳，10只腳需要添5次，即有了5只兔。畫(huà)圖過(guò)程就是假設(shè)法的另一種表現(xiàn)形式。

“雞兔同籠”是解決問(wèn)題中的一個(gè)典型代表，通過(guò)比較、分析、歸納、總結(jié)，學(xué)生掌握了一個(gè)解決這類(lèi)問(wèn)題的基本模型，就可以利用這個(gè)基本模型去解決各種問(wèn)題。

“雞兔同籠”是一個(gè)非常有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從一千五百年前的《孫子算經(jīng)》到現(xiàn)在的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，以及到初中的代數(shù)，都在研究這一數(shù)學(xué)問(wèn)題。解決問(wèn)題的策略有很多，蘊(yùn)含了多種數(shù)學(xué)思想方法，我們要結(jié)合教學(xué)實(shí)際引導(dǎo)學(xué)生自主探究，教給學(xué)生一些數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和解題問(wèn)題的策略，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、推理能力和探究問(wèn)題的能力。