基于1→2相位協變克隆之逆的同時量子信息集中

張玉春, 柏明強, 吳 帆, 柳人菊

(四川師范大學 數學科學學院, 四川 成都 610066)

在量子信息理論中,Wootters等[1]已經證明一個未知的量子態不能被精確克隆,那么是否可以近似克隆呢?

1996年，Buzek等[2]首次提出了量子克隆的概念.量子克隆能夠實現近似克隆,但其輸入態和近似輸出態是糾纏在一起的,這意味著測量其中的一個將影響另外一個.隨后,Murao等[3-4]結合隱形傳態,將量子克隆進行推廣,提出了量子遠程克隆.量子遠程克隆可以將一個粒子的信息從發送者分發到許多遙遠的接收者,實現遠程量子信息的分布.

根據量子信息論,量子信息可以進行分發和重構,量子遠程克隆就是信息分發過程,而遠程信息集中就是信息的重構過程.2001年，Murao等[5]首次提出了遠程量子信息集中,他們選擇了一個4粒子非束縛糾纏態作為量子信道,然后執行局域操作,就完成了將分布于空間分離的3方的量子信息還原回來的任務.

從此,學者們對遠程量子信息集中進行了廣泛的研究[6-17].例如,Yu等利用GHZ態[6-7]、W態[8]和Cluster態[9]完成了優化1→2的通用遠程克隆之逆;Hsu等[10-11]提出了將量子態推廣到多粒子和高維系統的量子信息集中;Wang等[12-15]提出了基于相位協變克隆的遠程信息集中;2014年，Peng等[16]提出了優化通用1→2的任意2粒子量子信息集中協議;2016年,Wang等[17-18]提出了添加控制方的量子信息集中方案.在現有的研究成果中,量子信息集中涉及的都是一個信道處理一個克隆態的情況.

為了提高信道資源的利用效率,試想:一個信道能否同時處理2個及以上克隆態的信息集中呢?基于以上考慮,選擇2個1→2相位協變克隆態和一個7粒子信道,提出同時量子信息集中方案,并在方案中添加了控制者,其中控制者起到單向通信的控制作用,當且僅當在控制者許可下,信息集中方可完成.

1 量子遠程信息集中

1.1 量子任務和量子信道假設有2個未知赤道態

的信息被分別加載到由粒子(A1,B1)和(A2,B2)構成的對稱相位協變克隆態

|Ψ〉eiδ1|11〉)A1B1,

(1)

|Ψ〉eiδ2|11〉)A2B2,

(2)

其中,粒子A1(A2)和B1(B2)分別屬于空間分離雙方Alice1(Alice2)和Bob1(Bob2).

現在Alice1和Bob1想讓David1來幫助他們將加載到態|Ψ〉A1B1中的信息集中回單粒子態

同時Alice2和Bob2讓David2來幫助他們將加載到態|Ψ〉A2B2中的信息集中回單粒子態

并且要求這一任務必須在第三方Charlie的監控下完成,控制者Charlie不需要知道|Ψ〉A1B1和|Ψ〉A2B2的任何信息,但在整個量子任務中卻起著至關重要的作用.

當然,這個任務可以通過2個受控量子信息集中協議來完成,每個協議需要耗費一個4粒子糾纏態作為量子信道及一個控制者,總共涉及8比特量子資源和2個獨立的控制者.而本文提出這樣一個協議,利用一個7粒子量子態作為信道和一個共有的控制者,就可以同時將|Ψ〉A1B1和|Ψ〉A2B2的信息集中回原始態.

為了實現這一量子任務,考慮7粒子量子態|H〉(4粒子Cluster態和一個含4項的3粒子糾纏態的張量積)作為量子信道,這個3粒子糾纏態的形式為

|E

i,j∈P={1,2,3,4},i≠j,

(3)

其中

|ω1〉=|000〉, |ω2〉=|001〉,

|ω3〉=|010〉, |ω4〉=|100〉,

根據GME-concurrence[19]度量可以來刻劃n粒子純態|Ψ〉的糾纏屬性,定義糾纏度量GME-concurrence如下

CGME|Ψ〉:=

(4)

其中,r={ri}表示糾纏態|Ψ〉所有的二分類可能{Ai|Bi},i∈{1,2,…,n},ρAri代表關于Ari的密度矩陣.

對于(3)式中|Eij〉,可能的二分類

r={{1|23},{2|13},{3|12}},

計算

CGME|Eij〉:=min

這表明3粒子|Eij〉是最大糾纏態,具有良好的糾纏性質.

1.2 同時遠程信息集中不失一般性,取信道

|H〉=|Cluster〉1C2D2?|E34〉=

這里粒子1、3、2、4、C、D1、D2分別屬于Alice1、Bob1、Alice2、Bob2、Charlie、David1和David2,Charlie作為控制方,David1、David2作為量子信息|τ〉D1和|τ〉D2的恢復方.

于是整個系統為

|T〉=|Ψ〉A1B1?|H〉12CD234D1?|Ψ〉A2B2.(7)

利用Bell基

(8)

和

{|+〉,|-〉}

基

(9)

系統總態|T〉可以表示為

(10)

若記

li=(-1)i,i=1,2,…,16,

則(10)式中

|ρ

(11)

其中|ξi〉(i=1,2,…,16)代表Alice1、Bob1、Alice2和Bob2分別對各自的粒子對(A1,1)、(B1,3)、(A2,2)和(B2,4)執行Bell測量.Charlie對自己的粒子C執行{|+〉,|-〉}基測量后,系統總態最后所塌縮成的16種量子態.

|ξ〉eiδ2|1〉)D2?

(12)

從上式可以看出,|ξ〉D2D1是粒子D2和D1所處態的張量積形式.此時,David2對粒子D2執行酉操作σI,與此同時David1對粒子D1執行酉操作σx,二者就能同時恢復量子信息

整個過程涉及的酉算子表達式如下:

σI=|0〉〈0|+|1〉〈1|,

σx=|0〉〈1|+|1〉〈0|,

σz=|0〉〈0|-|1〉〈1|,

σy=-i|0〉〈1|+i|1〉〈0|.

其余測量情況下的信息恢復類似,塌縮態

|ξ〉i,i=1,2,…,16

與David2、David1所執行酉操作見表1.整個方案成功的概率為

表 1 塌縮態|ξ〉i(i=1,2,…,16)與David2、David1所執行酉操作

1.3 概率性同時遠程信息集中雖然最大糾纏態的良好糾纏性質能使得信息集中任務以最大概率取得成功,但是在真實的通信環境中,最大糾纏態不易制備,并且受環境影響容易轉化為非最大糾纏態.因此,考慮非最大糾纏態為信道,將量子態|Ψ〉A1B1和|Ψ〉A2B2的信息同時集中回2個單粒子態|τ〉D1和|τ〉D2.

(3)式中|E13〉和信道|H〉取如下形式:

|H〉=|Clusterα〉

(13)

sin2α+cos2α=1,sin2β+cos2β=1,

其中

α,β∈[0,2π),

sinα,cosα,sinβ,cosβ≠{0,1}.

粒子1、3、2、4、C、D1和D2分別屬于Alice1、Bob1、Alice2、Bob2、Charlie、David1和David2.于是整個系統利用Bell基和{|+〉,|-〉}基可以表示為

|T〉=|Ψ〉A1B1?|H〉1C2D234D1?|Ψ〉A2B2=

(14)

若記

i=1,2,…,16,

則

|λ

(15)

而塌縮態|φj〉D2D1(j=1,2,…,16)都可以通過一個酉操作(Uj)D2D1將其轉化為以下

情況之一:

(16)

其轉化過程為

(Uj)D2D1|φj〉

ji=1,2,3,4;j≡ji(mod4).

(17)

具體酉操作(Uj)D2D1見表2.

表 2 (17)式中酉操作(Uj)D2D1, j=1,2,…,16具體情況

|φ〉sinαsinβ|000〉+

(18)

(19)

的情況可按照類似方法進行操作.

(20)

由于系數未知,因此需要對系數進行討論,分以下4種情形:

情形1sinα≥cosα,sinβ≥cosβ;

情形2sinα

情形3sinα≥cosα,sinβ

情形4sinα

信息恢復過程中,4種情形所做的操作類似,不失一般性,選擇情形1來討論.當

sinα≥cosα,sinβ≥cosβ

時,為了恢復原始信息,選擇適當的酉變換如下

U

其中

W

θ∈{α,β}.

(22)

(23)

情形2～4采用類似的方法即可恢復原始信息,與情形1不同之處在于所選擇酉變換不同.為了完成情形2～4信息的恢復,再構造2個酉變換如下

U

(24)

其中

P

θ∈{α,β}.

(25)

針對不同情形下酉變換的選擇情況具體見表3.

表 3 情形1～4下引入輔助粒子后選擇的酉變換與成功的概率

通過計算發現,同時恢復信息|τ〉1和|τ〉2成功的概率與參數α和β有關系,并且當

sin2α=cos2α=sin2β=

時,成功的概率最大為1.

2 結論

本文提出了通過一個7粒子量子信道,同時將2個2粒子克隆態集中回原始態的信息集中方案.方案中添加了控制者,進一步增加了方案的安全性.在整個量子任務過程中,4個空間分離的參與者對自己所擁有的粒子做Bell測量,然后他們以經典通信的方式將測量結果告訴給控制者和2個恢復方.在控制者的許可下,2個恢復方根據所接收到的測量信息對自己所擁有的粒子做適當的酉操作或者引入輔助粒子進行投影測量,即可恢復原始態.當信道為最大糾纏態時,方案成功的概率為1;當信道為非最大糾纏態時,方案成功的概率與信道的參數相關.