Bell態(tài)隱形傳輸中的馮·諾依曼熵研究

李文靖, 柏明強(qiáng)*, 劉芷儀, 肖鈞勻

(1. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066; 2. 四川師范大學(xué) 智能信息與量子信息研究所, 四川 成都 610066;3. 系統(tǒng)可信性自動(dòng)驗(yàn)證國家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室四川師范大學(xué)研究中心, 四川 成都 610066)

量子糾纏是一種量子力學(xué)現(xiàn)象,用來描述復(fù)合系統(tǒng)中一類特殊的量子態(tài),此量子態(tài)無法分解為子系統(tǒng)各自量子態(tài)的張量積.隨著量子信息科學(xué)的發(fā)展,量子糾纏在量子計(jì)算與量子信息處理中扮演重要角色,如量子密鑰[1]和量子隱形傳輸[2]等.

1993年,Bennett等[2]首次提出量子態(tài)隱形傳輸,應(yīng)用非常廣泛且迅速成為量子信息與量子計(jì)算中大量資源互換方法的基礎(chǔ)[3-5].隨后,許多學(xué)者相繼對(duì)兩粒子態(tài)的隱形傳輸進(jìn)行研究,分別以三粒子態(tài)(GHZ態(tài)、W態(tài))和團(tuán)簇態(tài)作量子信道實(shí)現(xiàn)兩粒子糾纏態(tài)的隱形傳輸[6-11].目前為止,量子隱形傳輸廣泛應(yīng)用于量子網(wǎng)絡(luò)[12-13]和遠(yuǎn)程態(tài)制備[14-16]等方面.

眾所周知,信息熵是用來描述一個(gè)系統(tǒng)信息量的指標(biāo).在經(jīng)典信息論中,對(duì)經(jīng)典信息的描述通常采用Shannon熵;在量子系統(tǒng)中,最早對(duì)量子信息的描述是馮·諾依曼熵(von Neumann entropy).馮·諾依曼熵是Shannon熵在量子意義下的推廣,用于度量量子信息,刻畫量子系統(tǒng)的狀態(tài)包含的所有不確定性關(guān)系[17];在糾纏判別、糾纏度刻畫等方面也具有十分重要的作用.

石名俊等[18]利用馮·諾依曼熵計(jì)算量子純態(tài)糾纏度,分析了糾纏度的構(gòu)成.近年來,馮·諾依曼熵對(duì)糾纏的研究受到學(xué)者的廣泛關(guān)注.

2017年,基于馮·諾依曼熵,Liang[19]給出了量子信道中糾纏動(dòng)力學(xué)的具體計(jì)算形式.2018年,Zhu等[20]計(jì)算兩粒子和三粒子糾纏態(tài)的馮·諾依曼熵,給出了最大糾纏態(tài)的表示形式.2019年,Kumari等[21]利用馮·諾依曼熵的Fannes-Audenaert不等式獲得量子系統(tǒng)中糾纏產(chǎn)生上界的方法.2020年,Hou等[22]提出一種相對(duì)熵糾纏上界的計(jì)算方法,為糾纏測量的計(jì)算提供了理論支持,加深了對(duì)糾纏態(tài)結(jié)構(gòu)的理解.

熵理論除了內(nèi)在的刻畫,也應(yīng)用于對(duì)通訊協(xié)議的刻畫.王梅[23]根據(jù)糾纏度的概念和熵的不確定性關(guān)系,研究貝爾態(tài)在受噪聲影響下的變化;馬貝[24]運(yùn)用熵理論研究了基于GHZ態(tài)作量子信道下量子隱形傳輸后塌縮態(tài)糾纏度的變化.

眾所周知,GHZ態(tài)和團(tuán)簇態(tài)是2種重要資源,廣泛應(yīng)用于量子信息處理.GHZ態(tài)常用于量子密鑰分配[25-26]和秘密共享[27-28],團(tuán)簇態(tài)則被認(rèn)為是量子計(jì)算中普遍通用的資源[29-30].目前為止,學(xué)者已經(jīng)研究了基于GHZ態(tài)作量子信道實(shí)現(xiàn)Bell態(tài)隱形傳輸所獲塌縮態(tài)糾纏度的變化,但基于團(tuán)簇態(tài)作量子信道實(shí)現(xiàn)Bell態(tài)隱形傳輸所獲塌縮態(tài)糾纏度的變化尚未研究,本文將利用馮·諾依曼熵研究基于團(tuán)簇態(tài)作量子信道,傳輸Bell態(tài)所獲塌態(tài)糾纏度的變化,并就此與文獻(xiàn)[24]研究結(jié)果進(jìn)行比較.

本文利用團(tuán)簇態(tài)實(shí)現(xiàn)兩粒子糾纏態(tài)的隱形傳輸,并對(duì)所獲塌縮態(tài)進(jìn)行熵的刻畫,即運(yùn)用馮·諾依曼熵計(jì)算塌縮態(tài)的糾纏度.首先,運(yùn)用馮·諾依曼熵計(jì)算隱形傳輸前Bell態(tài)的糾纏度,分析其變化與糾纏態(tài)參數(shù)的關(guān)系;其次,運(yùn)用馮·諾依曼熵計(jì)算隱形傳輸后所獲塌縮態(tài)的糾纏度,并討論特殊情況下所獲塌縮態(tài)糾纏度的變化趨勢.

1 利用團(tuán)簇態(tài)實(shí)現(xiàn)兩粒子糾纏態(tài)隱形傳輸協(xié)議

假設(shè)粒子1和粒子2處于兩粒子糾纏態(tài)上,即

|Ψ〉12=(x|00〉+y|11〉)12,

x2+y2=1,x,y∈R.

(1)

Alice想要把(1)式糾纏態(tài)傳輸給遠(yuǎn)方的Bob,同時(shí)Alice與Bob共享一個(gè)四粒子量子信道|Ψ〉3456,表示如下

|Ψ〉3456=(a|0000〉+b|1111〉+

c|0011〉+d|1100〉)3456,

(2)

其中a、b、c、d都是實(shí)數(shù),且

a2+b2+c2+d2=1.

一般情況,下a、b、c、d不相等.不失一般性,假設(shè)

d≤c≤b≤a.

假設(shè)粒子1、2、3、6屬于Alice,粒子4、5屬于Bob,則復(fù)合系統(tǒng)的態(tài)可以寫成

|Ψ〉=|Ψ〉12|Ψ〉3456=

(x|00〉+y|11〉)12?

(a|0000〉+b|1111〉+

c|0011〉+d|1100〉)3456=

x(a|000000〉+b|001111〉+

c|000011〉+d|001100〉)123456+

y(a|110000〉+b|111111〉+

c|110011〉+d|111100〉)123456.

(3)

Alice分別對(duì)粒子對(duì)(1,3)和(2,6)做Bell基

測量,系統(tǒng)總態(tài)塌縮為16種形式之一,最后整理得到如下8種不同形式:

(4)

Bob得到的塌縮態(tài)如

首先,Bob將

U1=I4?Z5

作用在

上,得到

接著,Bob需要引入輔助粒子|0〉A(chǔ),并在基

{|00〉4A,|01〉4A,|10〉4A,|11〉4A}

下產(chǎn)生酉矩陣:

在該酉矩陣的作用下,粒子4和5最終塌縮為

經(jīng)計(jì)算,(4)式中8種塌縮態(tài)最終得以恢復(fù)的概率為

p

(6)

且得到成功實(shí)現(xiàn)隱形傳輸?shù)目偢怕蕿?/p>

P=2b2+2d2.

2 糾纏度量分析

對(duì)于兩粒子復(fù)合量子系統(tǒng)上任意純態(tài)的形成糾纏熵為

Ef(|Ψ〉A(chǔ)B)=S(ρA)=S(ρB)=

-tr(ρA(B)logρ

(7)

其中l(wèi)og 是以2為底的對(duì)數(shù)函數(shù),且規(guī)定

0log 0=0.

2.1 隱形傳輸前糾纏度量分析對(duì)于(1)式兩粒子糾纏態(tài),其密度算子可以表示為

ρ=|Ψ〉12〈|Ψ|,

粒子1或者粒子2的約化密度矩陣為:

ρ=tr(i)(|Ψ〉12〈|Ψ|)=

x2|0〉j〈0|+y2|1〉

i+j=3,i,j=1,2,

(8)

則糾纏態(tài)|Ψ〉12的糾纏度為

E(|Ψ〉12)=S(ρ)=

-x2log(x2)-y2log(y2),

x2+y2=1.

(9)

則(9)式可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)

f=-x2log(x2)-(1-x2)log(1-x2),

且作圖如圖1所示.

圖1 糾纏態(tài)的糾纏度與糾纏態(tài)參數(shù)關(guān)系

觀察圖1可得糾纏態(tài)的糾纏度隨糾纏態(tài)參數(shù)的變化而變化，具體關(guān)系如下：

2.2 隱形傳輸后塌縮態(tài)糾纏度量分析

2.2.1計(jì)算所獲塌縮態(tài)糾纏度 計(jì)算(4)式中8種塌縮態(tài)的形成糾纏熵，化簡可得

E(|Ψ〉

(10)

由假設(shè)

a2+b2+c2+d2=1,d≤c≤b≤a,

得到

令a2+b2=s,則

將(10)式改寫成關(guān)于b、s、x或d、t、x相關(guān)的等式

E(|Ψ〉

(11)

觀察(11)式可知,所獲塌縮態(tài)糾纏度與糾纏態(tài)參數(shù)及信道參數(shù)相關(guān).當(dāng)糾纏態(tài)參數(shù)確定時(shí),所獲塌縮態(tài)中有一半的糾纏度與信道參數(shù)a、b相關(guān),另一半與參數(shù)c、d相關(guān).

2.2.2討論

E(|Ψ〉(i))=fi(s),

分別對(duì)s求導(dǎo)為

(12)

(13)

即可知:

(ⅰ) 當(dāng)x、b不變,s增大時(shí),a增大,與參數(shù)a、b相關(guān)的塌縮態(tài)糾纏度隨s增大而增大;

(ⅱ) 當(dāng)x、d不變,s增大時(shí),c增大,與參數(shù)c、d相關(guān)的塌縮態(tài)糾纏度隨s增大而減小.

由此可知,當(dāng)糾纏態(tài)參數(shù)確定時(shí),s取值不同導(dǎo)致信道參數(shù)a、b與c、d對(duì)所獲塌縮態(tài)的糾纏度影響程度不同.當(dāng)信道參數(shù)對(duì)塌縮態(tài)糾纏度影響程度相同且糾纏態(tài)參數(shù)確定時(shí)，塌縮態(tài)的糾纏度如何隨信道參數(shù)的變化而變化.

則(11)式為

E(|Ψ〉

(14)

如果傳送Bell態(tài)，即

將x、y的值代入(9)式,可得傳輸前Bell態(tài)的糾纏度為1,而所獲塌縮態(tài)糾纏度為

E(|Ψ〉i)=

(15)

E(|Ψ〉

i=1,2,…,8.

由此可知量子態(tài)在傳輸過程中與量子信道相互作用,使得所獲塌縮態(tài)的糾纏度下降.

ii) 如果a、b、c、d未知,將信道參數(shù)b、d看作自變量x,(15)式可看作函數(shù)

(16)

且作圖如圖2所示.

圖 2 塌縮態(tài)的糾纏度與信道參數(shù)關(guān)系

或

或

或

時(shí),即最大糾纏團(tuán)簇態(tài)作信道時(shí),糾纏度最大為0.312 5.

另外,最后隱形傳輸成功的總概率為

2b2+2d2,

取決于參數(shù)b、d.作圖如圖3所示,并得到以下結(jié)論.

3 結(jié)論

3.1 對(duì)比分析團(tuán)簇態(tài)和GHZ態(tài)都2種重要的物理資源,一方面最大糾纏團(tuán)簇態(tài)或GHZ態(tài)隱形傳輸Bell態(tài)的成功概率都可以達(dá)到1;另一方面可利用馮·諾依曼熵刻畫隱形傳輸中所獲塌縮態(tài)的糾纏度.文獻(xiàn)[24]運(yùn)用熵理論研究了基于GHZ態(tài)隱形傳輸Bell態(tài)后塌縮態(tài)糾纏度的變化情況,這里就本文研究結(jié)果與文獻(xiàn)[24]作比較.

通過對(duì)比2種情況可以得出,利用團(tuán)簇態(tài)或者GHZ態(tài)都可以實(shí)現(xiàn)Bell態(tài)的隱形傳輸,雖然團(tuán)簇態(tài)所攜帶的信息多于GHZ態(tài),但就2種情況所獲塌縮態(tài)的糾纏度下降程度,GHZ態(tài)作信道實(shí)現(xiàn)Bell態(tài)的隱形傳輸更優(yōu)于團(tuán)簇態(tài).

3.2 總結(jié)本文研究Bell態(tài)在團(tuán)簇態(tài)作量子信道下,隱形傳輸后塌縮態(tài)的糾纏度的變化,主要進(jìn)行了以下幾方面的研究工作并獲得相應(yīng)的研究成果.

1) 利用馮·諾依曼熵計(jì)算糾纏態(tài)

|Ψ〉12=(x|00〉+y|11〉)12

的糾纏度,得到其糾纏度與糾纏態(tài)參數(shù)相關(guān),當(dāng)

時(shí),糾纏度達(dá)到最大值1.

2) 利用馮·諾依曼熵計(jì)算隱形傳輸后塌縮態(tài)的糾纏度,得出經(jīng)量子信道傳輸,塌縮態(tài)的糾纏度與糾纏態(tài)參數(shù)和信道參數(shù)有關(guān).如果

a2+b2=s,c2+d2=1-s,

3) 當(dāng)糾纏態(tài)參數(shù)

時(shí),信道參數(shù)a、b與c、d對(duì)塌縮態(tài)糾纏度影響程度相同,信道參數(shù)取值不同,塌縮態(tài)糾纏度會(huì)有不同的變化趨勢:

ii) 如果a、b、c、d未知,此時(shí)在噪聲環(huán)境下,隱形傳輸成功的概率小于1,并且所獲塌縮態(tài)的糾纏度與信道參數(shù)相關(guān).結(jié)論如下:

本文基于團(tuán)簇態(tài)隱形傳輸Bell態(tài),討論所獲塌縮態(tài)糾纏度的變化與信道參數(shù)的關(guān)系,并給出信道選擇合理的范圍,在量子通訊中信道選取具有一定意義.但仍有一些問題尚待討論,如是否可以將利用糾纏度刻畫信道的選取推廣到其他量子隱形傳輸協(xié)議中,其中測量是否引起塌縮態(tài)的糾纏度的改變,如何提高量子信息態(tài)的糾纏度等.