超聲磨削加工表面分形維數計算方法★

馮 珂， 黃 卓

（1.山西工程職業學院， 山西 太原 030009；2.北方自動控制技術研究所， 山西 太原 030006）

引言

隨著我國現代工業的迅速發展，各個重要場合如航空航天、高鐵、汽車等領域的零部件需要具備傳動效率高、承載能力強和使用壽命長等性能，這不僅對材料的力學屬性性能提出更高的需求，同時也使得對先進制造技術的研究更顯迫切。傳統的加工方法，主要包括車削、銑削、磨削和拋光等對于傳統材料的加工效果顯著，但是對于新興材料，如高溫合金、硬脆性材料和復合材料等難加工材料則表現出粘刀、加工硬化、加工效率低、加工成本高、加工表面質量差等現象，這就迫切需要尋找新的加工方法來改善這些情況。因此，一些新的加工方法應運而生，例如超聲振動輔助磨削。超聲振動輔助磨削，也稱超聲磨削（UVAG）。該方法將超聲波振動施加于砂輪上，磨粒受到超聲波振動沖擊而作周期運動。研究表明，超聲磨削較傳統加工方法細化了加工表面，降低了磨削力[1]和加工件的表面粗糙度[2-3]。

在傳統的機械加工如車削、銑削加工方法中存在著分形特征[4]。看似復雜的圖形經仔細研究發現，圖形之間的整體或局部存在某種方式的相似性，這就是分形特征的體現，相對于傳統表征方法具有不依賴于測量尺度和精度的優勢，是物體本質屬性的反映，這種避免尺度缺陷的表征方法可以更好地應用在微觀形貌的特征研究之中。

維數的概念來源于對經典的歐氏幾何的認識。在歐氏空間中，眾所周知，人們通常用點、線、面、體來表示空間的維度。即用點表示零維空間，用直線表示一維空間，平面表示二維空間，立體表示三維空間且都為整數值。因此，當測定空間中的任意一個幾何體面積與體積時，必須用與它相同維數的單位面積的正方形或單位體積的正方體去量度，則可得到一確定的數值。對于Koch 曲線，用傳統的維數去測量（如一維和二維），結果發現Koch 曲線的維數為0或±∞。這說明Koch 曲線為非規則體，不能用整數維去測量它，這種非整數維就是分形維數。

Hausdorff 從測量的角度出發給出了Hausdorff維數定義，分形維數的定義由此產生[5]。對于n 維空間中的一個集合F，取邊長為ε 圖元對這個集合進行覆蓋，統計出覆蓋這個集合的總的圖元的數目設為N（r），得到的D 就是Hausdorff 維數，它可以是整數或是分數。對于歐氏幾何學中人類創造的簡單理想標準體，可以知道他們的維數D 的值，D=0，1，2，3。但對于自然界的復雜真實物體，B.B.Mandelbrot 采用Hausdorff 維數來衡量這些極不規則的、維數有可能是分數特征的對象。經計算，二維曲線的維數在1～2 之間，而三維曲面的維數在2～3 之間。綜上，本文基于盒維數法、差分盒維數法、結構函數法，用MATLAB 模擬出已知分形維數的理論分形曲面，對其進行分形維數的計算，并進行誤差分析，從而確定超聲磨削加工表面分形維數的計算方法。

1 分形維數計算方法

1.1 盒維數法

盒維數法是分析加工表面三維形貌分形特性最常用的方法[6]，其優勢的原因在于它的簡便性和自動計算能力[7]。該方法是通過用不同盒子尺寸r 重復覆蓋分形曲面，然后求出完全覆蓋分形所需的盒子數N（r）。N（r）、r 和分形維數Ds的關系式表示如下：

對上述方程兩邊同時取對數，可得（2）表達式：

最后，如果r 尺度的值在適當的范圍內，直線的斜率即為分形維數Ds的值。

1.2 差分盒維數法

在盒維數法基礎上Sarkar N[8]等人提出了新的分形維數的有效計算方法—差分盒維數法（DBC）。其計算方法原理圖如圖1 所示。對于表面面積為M×M 的形貌采用大小為S×S 的正方形劃分成若干個網格。S×S網格內，其中S 為整數且1

圖1 差分盒維數算法原理圖

這時尺度為r 的總盒子數N（r）在三維形貌的第（i，j）個網格內的分布nr（i，j）可表示為：

式中：nr（i，j）為第（i，j）個格子中的盒子數，則總盒子數為：

依次變換S 值，按照公式（3）和（4）計算得到對應的Nr值。再利用（2）式將lgNr和lg（1/r）進行最小二乘法擬合，直線的斜率即為分形維數Ds的值。

1.3 結構函數法

Blackmore D[11]采用結構函數法計算了已知維數的分形曲線。其定義是：假設R3表示三維空間，隨機表面過程Z（x）可以用結構函數的方式表示為如下表達式：

假設分形曲面可由連續函數表示，則有S={[x，y，Φ（x，y）]，Φ（x，y）、（x，y）∈R}，其中，-a≤x≤a，-b≤y≤b，Φ（x，y）代表的是表面高度。

結構函數法計算分形維數的具體計算過程如下：

1）在表面的區域內，選取一隨機點X0=（x0，y0），以此點作為基點，則該點的高度值可用Φ（X0）度量。將剩下的數據，在以X0為中心的極坐標下進行采樣，采樣公式如下：

2）令θ=2πi/m，i=0，1，2，3，…，m-1。徑向距離rj=jr*/n，j=0，1，2，3，…，n，對于某些較小的實數r*<0。為了獲得足夠多的數據，m 與n 應該選取較大的合適正整數。

3）在此0≤i≤m-1，0≤j≤n 范圍內，與前一個點間距相等的高度值可表示為如下表達式：

4）令Δij=|Zij-Z0|，則各個相等的間距點的高度與原點的高度之差的平均值表達式為：

5）依次改變徑向距離rj的值，根據表達式（8）計算得到相對應的Δj的值。在雙對數坐標中，作出（lgrj，lgΔj），并采用最小二乘法對數據點進行擬合，即可得到直線的斜率Lh，然后求得分形維數。分形維數Ds=3-Lh。

2 分形理論曲面及其算法分析

2.1 分形曲面MATLAB 模擬

Weierstrass-Mandelbrot 函數簡稱W-M 函數，常用于分形曲面的重構。W-M 函數處處連續但是并不可微，且具有分形的自相似的特性。采用W-M 函數可以模擬出分形維數為Ds 的分形曲面的表示形式如式（9）：

式（9）中：Cn是獨立的且服從均值為0，方差為1 的正態分布隨機數；An，Bn是獨立的且都服從[0，2π]上的均勻分布的隨機數；Ds為分形維數，且2＜Ds＜3；λ 為大于1 的常數；n 為自然序列數。

編寫W-M 函數的matlab 程序，在matlabR2015b 中分別模擬出分形維數Ds=2.1、Ds=2.2、Ds=2.4、Ds=2.5、Ds=2.7、Ds=2.8 的理論分形曲面。下頁圖2 所示是由MATLAB 模擬出的分形維數為Ds=2.1、Ds=2.2、Ds=2.4、Ds=2.5、Ds=2.7、Ds=2.8 的分形曲面。由圖可以看出，不同維數的分形曲面結構特征是不相同的，且隨著分形維數逐漸變大，分形曲面的形貌變得較復雜，且形貌中的精細結構越明顯。因此得出，分形維數與表面的整體形貌的精細、復雜程度呈正相關，從而可以全面表征整體形貌的特征。表明形貌較光滑時，分形維數就較小；表明形貌精細的結構越多，分形維數就會越大。當Ds<2.5 時，三維表面的復雜、精細結構隨分形維數的增加而緩慢地增加，但是當Ds>2.5 時，三維表面的復雜、精細結構大幅變化，高頻成分明顯增多，表面結構具有較高的能量。

圖2 Weierstrass-Mandelbrot 分形曲面

2.2 超聲振動輔助磨削加工表面的分形維數算法選擇

在第一節中，比較全面地呈現了盒維數法、差分盒維數法、結構函數法這3 種分形維數計算方法的計算流程及算法思想。為了找到最適合超聲振動輔助磨削加工表面的三維分形維數計算方法，本文將對盒計數法、差分盒維數法、結構函數法進行優選。在matlabR2015b 中分別模擬出已知分形維數Ds=2.2、Ds=2.5、Ds=2.8 三個理論分形曲面，選擇超聲磨削實驗加工表面的采樣條件，然后利用這三種分形維數的計算方法，針對三個已知分形維數理論分形曲面計算出實際的分形維數，結果如表1 所示。

表1 模擬理論表面分形維數

將這3 種算法所得的計算值與理論值相比較，發現盒維數法的計算結果與理論的值最接近；差分盒維數法是在盒維數法基礎上進行改進的算法，其計算結果相比較于盒維數法偏差較大；結構函數法的計算值離理論偏差最大。圖3 為超聲磨削加工掃描電鏡下的表面灰度圖像，超聲磨削加工后的表面是由一系列的凹槽、劃痕等精細結構所組成，而盒維數法的算法思想與之較一致。即盒維數法較適合計算超聲磨削加工表面的分形維數，其精度高于差分盒維數法、結構函數法。綜上，本文選擇盒維數法來計算分形維數。

圖3 超聲磨削加工表面灰度圖

3 結論

1）本文根據W-M 函數編制理論分形曲面的MATLAB 程序解釋了分形維數所表示的物理意義。分形維數Ds是度量復雜物體復雜性的一個定量指標，代表的是系統填充空間的能力。分形維數與表面的整體形貌的精細、復雜程度呈正相關。表面形貌較光滑時，分形維數就較小；表面形貌較粗糙時，表面形貌越精細，分形維數就越大。

2）通過MATLAB 模擬已知分形維數Ds=2.2、Ds=2.5、Ds=2.8 三個理論分形曲面。分別用盒維數法、差分盒維數法、結構函數法這三種方法計算模擬的已知分形維數的理論分形曲面并分析結果，結果表明：盒維數法計算精度較高，選用盒維數法計算超聲振動磨削加工表面微觀形貌。