換個(gè)角度研究也精彩

鄔江

筆者近期讀文[1]時(shí)，聯(lián)想到文[1]中研究的問題與2020年上海市閔行區(qū)高三調(diào)研試卷中第15題十分相似，筆者在教學(xué)時(shí)是借助圖形和空間想象使問題得以解決的，受文[1]啟示，筆者重新探究了這個(gè)問題，本文擬分享探究所得.

1 問題的呈現(xiàn)

題目在正四面體A - BCD中，點(diǎn)P為ABCD所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，若AP與AB所成角為定值θ，θ∈（0，π/4），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（

）.

A.圓B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線

2 題源的分析

本題的背景是圓錐與不過頂點(diǎn)的平面相交的得到的截線的軌跡問題，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線：

（1）用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的截線的軌跡是圓;

（2）把平面漸漸傾斜，當(dāng)平面與軸線的夾角大于半頂角時(shí)，得到的截線的軌跡是橢圓;

（3）當(dāng)平面“和且僅和”圓錐的一條母線平行時(shí)，即平面與軸線的夾角等于半頂角時(shí)，得到的截線的軌跡是拋物線;

（4）當(dāng)平面與軸線的夾角小于半頂角時(shí)，得到的截線的軌跡是雙曲線的一支（把圓錐面換成相應(yīng)的二次錐面時(shí)，則可得到雙曲線）.

3 問題的解答

由分析知：如圖1，本題中動(dòng)點(diǎn)P的軌跡就是以AB為軸，母線與軸的夾角為θ的圓錐與平面BCD相交的截交線，過點(diǎn)4作平面的垂線A0，垂足為O，聯(lián)結(jié)BO，設(shè)軸AB與平面BCD所成角為φ，易得φ=arccos√3/3，由于90°>φ>θ，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓，從“形”的角度本題可以得到完美的解決，那么從“數(shù)”的角度入手，又該如何解決呢？

不妨設(shè)AB=2√3，以ABCD的重心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖2，建立空間直角坐標(biāo)系，

4 問題再研究

至此，這個(gè)問題似乎得到圓滿的解決，如果到此結(jié)束，則可能“入寶山而空手返”，錯(cuò)過了一個(gè)研究性學(xué)習(xí)的大好機(jī)會(huì)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡有沒有可能是雙曲線、拋物線和圓？如果可能，那么AP與AB所成角θ的范圍又是什么？帶著這個(gè)疑問，筆者開始了新的探究獲得如下的結(jié)論：

我們研究平面與圓錐的截線問題，常規(guī)思路是圓錐不動(dòng)，通過旋轉(zhuǎn)平面來研究截線的變化，本題換個(gè)角度來研究平面與圓錐的截線問題，平面不動(dòng)，通過變化圓錐的頂角來研究截線，題目來源于課本但又不拘泥于課本，有創(chuàng)新性，是一個(gè)值得研究的好問題.

我們一直提倡“用教材教，而不是教教材”的教學(xué)理念，這就要求我們教師要認(rèn)真鉆研教材，理解教材意圖，對于教材中的例題、習(xí)題和拓展內(nèi)容，充分挖掘其教學(xué)價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析、思考、歸納、類比乃至推廣，發(fā)揮每一個(gè)例題、習(xí)題的最大功效，實(shí)現(xiàn)教學(xué)效益的最大化，

參考文獻(xiàn)

[1]舒適.和學(xué)生一起進(jìn)行數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2017 （12）：14-15