建立和求解導數模型 提升數學建模素養

林相

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養[1].數學建模主要表現為：發現和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題[1].數學建?；顒邮腔跀祵W思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動，是高中階段數學課程的重要內容.解題中的建模是依據題目中的條件和結論的特征，類比聯想相關數學概念、公式、定理、證明，構造出新的數學模型，從而使問題得到解決的過程，李尚志教授指出，能用現成公式加以變通解決不現成的問題，就是核心素養中的“數學建模”[2].因此，如解決函數與導數綜合問題，通常需要構造函數等來解決問題，屬于構造函數模型，這也體現了數學建模素養，

不等式的恒成立問題，一直是高考的熱點難點問題，常作為函數與導數問題的壓軸題，考查學生對不等式與函數轉化思想的應用，題目形式多樣，方法靈活，綜合性強，難度大，本文擬運用建模方法解題，以建立和求解導數模型為例，談談在解題過程中如何運用數學建模方法以建立和求解模型為切入點，提升學生的數學建模素養[3].

點評解法一中分類討論的臨界點探究是學生解決這類問題中公認的難點，抓住f（x）=0分類，一步到位是我們追求的目標，但學生往往因無法找到分類討論標準而無法前行，所以通過訓練建立和求解這樣的導數模型，抓住f（x）=0分類，有利于學生數學建模素養的提升，

點評 解法2中，通過分離參數后，避開了對參數進行討論，降低了思維的難度，學生容易接受，感覺解法上有章可循，但遇到罟形式，往往要結合高等數學中的洛必達法則，建立和求解導數模型，使得此類恒成立問題迎刃而解，簡潔流暢，解題過程中，引導學生建立這種導數模型的解題方法，往往能打破解題常規，避開難點，獲得明快的解題思路，對培養學生的思維獨創性有著重要意義，數，問題馬上得到解決，用此法構思巧妙，方法新穎，起到事半功倍的效果，同時可以很好地培養學生數學建模素養，

證法2 隱零點代換

點評從a=1/e手，利用隱零點代換得到fmin（x）

=0，然后通過放縮得到f（x）≥0.通過虛設零點，整體代換的方法求出最值，這種導數模型的建立和求解，使一般問題特殊化，復雜問題簡單化，

證法3 變更主元法

點評 對于涉及雙變量的導數問題，f（x）= axe x-2-lnx - x+2≥0，x>0，a≥1/e時，常常反客為主，將

參數與主元換個位置，利用單調性把含參數變量的不等式證明問題轉化為不含參數變量的不等式證明問題，這種建模方法比較獨特，富有創造性，有效調動了學生數學建模素養的形成，

證法4 構造函數法

總之，數學建模是指我們面對實際問題，通過抽象、化簡，用數學語言表達問題，用數學方法構建模型解決問題，它是聯系數學與外部世界的橋梁，是數學應用的重要形式，在導數解題過程中引入建模方法，教師要引導學生從不同角度進行思考，對同一個問題建立不同的數學求解模型，讓學生從多角度進行探究，尋求多種解題方法，培養創新意識，從而面對函數與導數綜合問題時能按圖索驥，一方面提升學生數學建模素養，另一方面使學生能夠養成自覺運用數學建模思想解決問題的習慣，這樣做往往能高屋建瓴，達到四兩撥千斤的效果，

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2018

[2]郭洪，劉成龍，程雙，例談模型在解2020年高考試題中的應用[Jl.中學數學研究，2021 （1）：45-47

[3]柯躍海.選拔性數學考試的命題與評價[M].西安：陜西師范大學出版社，2018