構(gòu)造圓錐模型解決立體幾何中的線線角，線面角問(wèn)題

黃治元

高中立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題成為近些年高考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)問(wèn)題，且多以壓軸題的形式出現(xiàn)在選擇、填空題中，綜合考查學(xué)生的空間想象能力和對(duì)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化處理能力，筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，通過(guò)構(gòu)造圓錐模型可以很好地解決立體幾何中的線線角、線面角問(wèn)題，

結(jié)論1如圖1所示，直線MN過(guò)圓錐的頂點(diǎn)P，過(guò)直線MN的圓錐軸截面截圓錐所得的兩條母線為PA，PB，設(shè)Q是圓錐底面⊙O上任意一點(diǎn)，則

結(jié)論1可以用來(lái)解決過(guò)圓錐頂點(diǎn)的直線與圓錐的母線的夾角問(wèn)題，利用此結(jié)論的關(guān)鍵是根據(jù)己知條件構(gòu)造出一圓錐及過(guò)圓錐頂點(diǎn)的直線， 評(píng)注 （1）若一動(dòng)直線與一定直線的夾角為定值時(shí)，如圖3，可以構(gòu)造這樣的一個(gè)圓錐，讓定直線成為圓錐的軸線，動(dòng)直線成為圓錐的“母線”;

（2）直線與平面所成角問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化為直線與平面的法線所成角問(wèn)題，

評(píng)注正四面體繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線AD與AE所成角為定值，固定AD，構(gòu)造以AD為軸線，以AE為母線的圓錐成為解決本題的關(guān)鍵，

例3在AABC中，∠ACB= 90°，∠CAB=θ，M為AB的中點(diǎn)，將△ACM沿（M翻折至△ACM使得A'M⊥MB，則θ的取值不可能是（

）.

A.π/9 B.π/6 C.π/5 Dπ/3

評(píng)注條件A'M⊥MB等價(jià)于將△AC.M沿（M翻折后所形成的圓錐存在兩條互相垂直的母線，

解析作如圖9所示的圓錐，其中母線與圓錐軸線所成角為60°，底面圓O在平面a上，直線，可平移至直徑BC位置.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：該圓錐中存在多少條母線與BC所成角為40°？由結(jié)論2易知，這樣的母線有4條，故選D.

例5在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD - AiBCDi中，如圖10，點(diǎn)P是平面A1BC1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足PD+ PB1=2+ √13，則直線B1P與直線AD1所成角的余弦值的取值范圍是（ ）.

從而點(diǎn)P的軌跡是平面A1BC1內(nèi)以點(diǎn)O為圓心，以1為半徑的圓，BiP的軌跡是以BiO為軸線的圓錐母線.又AD1∥BC1，則直線AD1可以平移至圓錐底面圓的某條直徑位置，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求圓錐母線B1P與底面圓的直徑所成角的余弦值范圍，易知∠B1PO=

構(gòu)造圓錐模型來(lái)解決動(dòng)態(tài)立體幾何中的線線角、線面角問(wèn)題，關(guān)鍵是找出圓錐的軸線和其中的一條母線，多以定直線為圓錐的軸線，以與定直線成固定夾角的動(dòng)直線為母線