也談數學多選題的命制方式

吳青平

2020年是山東、海南實行綜合改革后的首次高考，新高考數學在題型上把選擇題分成單選題和多選題，“多選題的引入，為數學基礎和數學能力在不同層次的學生提供了發揮空間，同時能夠更加精準地發揮數學科考試的區分選拔功能.”[1]

其實，對于多選題我們并不陌生，回顧以往的高考試題，在選擇題和填空題中都能找到多選題的影子，它們基本上都是以判斷命題是否正確的形式出現，新高考I卷第9題（II卷第10題）、第11題（n卷第12題）、第12題，新高考II卷第9題便是這種形式，有學者針對新高考的多選題，提出四種命制方式，即“相同或不同知識塊命題的多樣性”，“一個數學對象屬性的多樣性”，“相同條件下可推出的結論的多樣性”，“條件削弱導致的結論的多樣性”等，[2]所展示的試題大致也都是判斷命題真假的結構，這些試題或者以同一數學對象為載體，考查該數學對象的不同性質或不同表示方式;或者考查不同數學對象的相同性質，這樣便為我們提供了多樣的試題命制方式.

1 數學對象屬性的多樣性

高中數學所學習的許多數學對象都可以作為考查的對象，如函數主題下的集合、函數、方程、不等式、數列;幾何與代數主題下的空間幾何對象及圖形、解析幾何中的直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等，從數學結構看，高中數學主要研究一個數學對象的特征，或兩個數學對象的關系，試題的命制也主要圍繞這兩個方面展開.

1.1 一個數學對象的特征研究

該類試題，主要是給定一個數學對象，設置不同性質以判斷其真假，是多選題命制的主要方式，數學對象可以由代數形式給出，如函數的解析式、曲線的方程、數列的通項公式等，有時代數形式中也會含有參數，需要對參數進行討論;數學對象也可以由幾何圖形展示，考查學生從圖形中提取有用信息的能力，下面通過不同的試題加以說明，

題1關于函數f（x）= sinx+cosx，下列結論正確的是（ ）.

A.f（x）的最小正周期是2π

B.f（x）的最大值是2

c.f（x）在（π/4，3π/4）上單調遞增

D.f（x）的圖象關于直線x=π/4對稱

答案：AD.

與單選題考查數學對象單一的性質比較，多選題能夠更好地考查學生對數學對象各個方面的性質的理解，從而更精準地測試和區分了不同層次學生的數學能力水平.[1]題1設計的四個選項全面考查了三角函數的周期性、單調性、對稱性及最值問題，除此之外，還可以考查三角函數的其它性質，如奇偶性、圖象變換、在給定區間的值域、與其它函數圖象的交點等.函數的形式可以是直接給出的的正弦型函數（f（x）= Asin（ωX+φ）），也可以是通過三角恒等變換后得到正弦型函數，如題1的f（x）= sinx+cosx;或者需要利用降冪公式化為正弦型函數，如f（x）= sin（sinx+cosx）;還可以是多項式函數與三角函數的復合，如f（x）= cosxsin2x （2013年全國高考大綱卷）.通過這樣的設計，按考查目標要求便可以編制大量的多選題，

對于函數及圓錐曲線，可以按類似的方式編制試題，題目從容易題到難題，有很大的選擇空間，我們舉一個與圓有關的簡單問題：

題2已知方程X2+ y2—2ax - 2ay=0表示圓，則下列結論正確的是（ ）.

A.圓心在直線y=x上

B.圓心在直線y=-x上

C.圓經過原點

D.圓的半徑為√2a

答案：AC.

題2以圓的方程為載體，考查點（圓心）與直線、點與圓的位置關系以及圓的半徑等最基本的知識內容，圓心及半徑會隨著參數而改變，在變化中存在著不變的性質，這便是本題考查的實質，當然，從這些不變的性質出發，可以拓展考查直線與圓的位置關系，如弦長、切線等，按這樣的思路可以編制大量與圓有關的多選題，

題3己知等比數列{an}的公比為g，則下列結論正確的是（ ）.

A.若{an}為遞增數列，則a1>0

B.若{an）為遞增數列，則q>0

C.若q>1，則{an}為遞增數列

D.若a1

答案：BD.

題3以等比數列為背景考查數列的單調性，從充分條件和必要條件兩個角度設計問題，學生要正確解決問題，需要掌握等比數列{an}為遞增數列等價于（ ）

.以此題為范例，可以編制考查數列（如等差數列、可給定遞推公式的數列）的性質的多選題，

如果在函數的解析式或曲線的方程中引入參數，則可考查的面就更加的寬廣了，模仿新高考I卷第9題（n卷第10題），編制如下與函數性質有關的多選題：

題4己知函數f（x）：ax+b/x（ab≠0），下列結論正確的是（ ）.

A.f（x）的定義域為{xlx≠0}

B.f（x）是奇函數

C.當ab<0時，f（x）的值域為{y|y≠0}

D.當ab>0時，f（x）在區間（0，+∞）上單調遞增

答案：AB.

題4所給的函數，有些性質是共通的，如定義域、奇偶性，有些性質與參數a，b的取值有關，如值域、單調性，因此對函數性質的考查是全面而且深刻的，本題可以對參數a，b進行賦值，得到不同的函數形式，則考查函數的性質將更加豐富，

由上可見，一個數學對象的特征研究是多選題編制的源泉.

1.2兩個數學對象的關系研究

除了一個數學對象的特征研究外，兩個數學對象之間的關系，也是高中數學研究的重點，如函數的圖象變換、兩個函數之間的關系、直線與圓錐曲線的位置關系等，是試題命制的主要依據，下列結論正確的是（ ）.

A.函數f（x），g（x）都是偶函數

B.函數g（x）在[0，+∞）上為增函數

C.[g（x）]2一[f（x）]2=l

D.[f（x）]2+[g（x）]2=g（2x）

答案：BCD.

題5是源于教材而高于教材的試題，主要考查函數的奇偶性、單調性（一個數學對象的特征研究）以及兩個函數之間的運算關系，考查學生對指數冪的運算性質和指數函數的性質的掌握程度，以及運用化歸與轉化的思想進行推理論證的能力，

題6已知點P（a，b），直線l：ax +by=1，圓O：x2+ y2 =1，則下列結論正確的是（ ）.

A.若點P在直線，上，則點P在圓O上

B.若點P在圓p上，則直線，與圓O相切

C.若直線，與圓O有兩個公共點，則點O在圓內

D.若直線l與圓O相切，則切點為P

答案：ABD.

題6全面考查了點、直線與圓的位置關系，直線l與圓P相切，切點就是點P，這個結論顯得簡潔而優美，無論從代數形式（點的坐標，直線、圓的方程）還是幾何特征，都要給人賞心悅目的直觀感受.

1.3數學圖形的研究

數學是研究數量關系和空間形式的一門科學，不僅通過代數形式研究一個數學對象的特征和兩個數學對象的關系，而且也重視通過圖形直觀來研究數學對象的特征及關系，高中數學尤其重視對圖形的研究，如函數的圖象，直線、圓錐曲線的幾何表示，統計圖表等，通過圖形考查學生的識圖及信息整理能力，

題7如圖1，A（2，0），B（1，1），C （-1，1），D（-2，0），DC，CB，B分別是以OD，BC，O為直徑的圓的一段圓弧，三段圓弧構成曲線Q，則下列說法正確的是（ ）.

A.曲線Q的長度為2π

B.曲線Q與x軸圍成的面積為3π/2

C.直線x+y - 2√2=0與CB，BA都相切

D.圓x2+y2 =3與曲線Ω有4個交點

答案：AD.

題7的圖形來源于2019年全國Ⅲ卷高考試題，借助圖形考查曲線Q的幾何特征（長度、面積）以及直線與曲線Q、圓與曲線Q的位置關系（相切及交點個數），考查目標明確且多樣，優美的圖形為試題錦上添花，

不僅如此，題7還為我們提供了編制該類試題的模板，我們也可以尋找一些優美的圖形，設計考查幾何特征及與其它曲線（主要是直線或圓）的關系（可以是位置關系，也可以是數量關系）.更進一步，還可以給出曲線的方程，讓學生畫圖后再進行判斷，題8是源于教材的一道試題，與題7有異曲同工之妙，這也是我們在題7的基礎上編制的多選題，并提供兩種備選項，以此說明試題命制的多樣性：

題8對于曲線Ω：x2+ y2-|x|-|y|=0，下列說法正確的是（ ）.

備選1：A.曲線Q是中心對稱圖形

B.曲線Ω有且僅有兩條對稱軸

C.曲線Ω的長度為4π

D.曲線Ω圍成圖形的面積為π+2

答案：AD.

備選2：A.連接曲線Ω圍成圖形的內部任意兩點的線段在曲線Ω的內部

B.P，Q為曲線Ω上兩點，則|PQ|的最大值為2√2

C.若直線y=a與曲線Ω有公共點，則

D.若圓x2+y2=r2（r>0）與曲線Ω有4個交點，則r=√2

答案：BC.

題7給出圖形，考查學生的識圖能力，這是由形思數的直觀想象;題8則考查學生的畫圖、識圖能力（也可以直接由方程來討論其相關性質），這是以數助形的角度看問題，著重考查直觀想象數學核心素養，備選1考查一個數學對象的特征——曲線Ω的對稱性、長度、面積，屬于容易題;備選2則考查兩個數學對象的關系——曲線Ω上的點，曲線Ω與直線、圓的相交問題，屬于中難題，模仿題7與題8，可以設計一系列有關方程與函數的問題，從易到難，隨心所欲，

題9 2020年兩會“部長通道”工信部部長表示，中國每周大概增加1萬多個5G基站，4月份增加5G用戶700多萬人，5G通信將成為社會發展的關鍵動力，下圖是某機構對我國未來十年5G用戶規模的發展預測圖，則下列說法正確的是（ ）.

A. 2022年我國5G用戶規模年增長率最高

B. 2022年我國5G用戶規模年增長戶數最多

C.這十年我國的5G用戶規模，后5年的平均數大于前5年的平均數

D.這十年我國的5G用戶規模，后5年的方差大于前5年的方差

答案：AC.

題9要求學生對所給圖形（折線圖及條形圖）中蘊含信息進行提取、加工，總結規律性的結論，考查學生對現實生活中實際數據的分析處理并做出統計推斷的能力，對統計圖表中提供的數據進行分析和處理在近年的高考試題中經常出現，它們都可以改編成多選題.

2 不同數學對象具有相同屬性

從數學對象的性質看，不同數學對象的一些性質可以是相同的，因此命題時可以把相通的性質作為題干，選項則設計為不同的數學對象，這也是多選題命制的重要方式，之前那些題干設問為“可以是”的開放性試題（結論不唯一），便可以改編成多選題，下面舉例加以說明：

題10己知數列{an}的前4項分別為2，0，2，0，下列各式可以作為數列{an}的通項公式的是（ ）.

答案：ABC.

給出數列的前幾項，它的通項公式不一定是唯一的，有時會有多種表達形式，題10中的擺動數列就是典型的例子，

題11下面四個條件中，使“實數x，y中至少有一個數大于0”成立的充分而不必要的條件是（）.

A. x+y>0

B. xy>0

C.x-|y|>0

D.|x|-y>0

答案：AC.

一個結論成立的充分或必要條件也是不唯一的，這樣的試題與讓學生判斷兩個條件之間的充分必要關系相比，更加深刻地考查了學生對充分必要條件的理解與掌握程度.

題12如果函數y=f（x）在區間D上是增函數，函數y=f（x）/x在區間D上是減函數，則稱函數y=f（x）是區間D上的“緩增函數”，下列函數在（0，1）上是緩增函數的是（ ）.

A.f（x）=x+1

B.f（x）=x2+1

C.f（x）=ex

D.f（x） = Inx

答案：ABC.

把函數（或曲線）的性質作為題干出發探究滿足相關性質的函數（或曲線），是“一個數學對象的特征研究”的逆向問題，也是命制多選題的主要素材，題12以函數的單調性為載體，展示了這類試題編制的模板，由此出發，考查函數的定義域、值域、奇偶性、最值等;或者把若干性質綜合考查，可以得到大量的多選題，選項中的函數也具有多樣性，根據考查知識及目標進行選擇，全面考查函數的基本概念及其性質特征，

比較大小是函數單調性的具體表現形式，新高考全國I卷第11題（n卷第12題）的選項ACD都指向ab與1/4的關系比較（由題干可得ab≤1/4），因此該題也可以歸于相同屬性的不同表達形式，題13對不等式性質的考查，正是這類試題的共性：

題13己知a>b>c，則下列不等式一定成立的是（ ）.

A.a+b> 2c

B.a-b>b-c

C. ac >bc

D.1/a-c<1/b-c

答案：AD.

3結語

本文并非旨在對多選題進行分類，只是在探究試題命制的過程中，為了較為有條理地闡述筆者的思考，而不自覺地按分類的習慣予以呈現，以上的“歸類”不一定是全面的，也不一定是準確的，但按這樣的脈絡，對數學多選題的命制便有了清晰的認識，在平時命制多選題時便不會無從下手，更為重要的是，按這樣的思路，我們可以進一步探究數學多選題的育人價值，以及關鍵能力的考查及課堂評價，值得嘗試，

參考文獻

[1]教育部考試中心.以評價體系引領內容改革以科學情境考查關鍵能力——2020年高考數學全國卷試題評析[J].中國考試，2020（8）：29-34

[2]金鐘植.淺談數學多選題的四種命制方式[J].高中數理化， 2020（7）：10-12