Logistic-Sine映射與比特重組的圖像加密算法

唐傳華，巫朝霞

（新疆財經大學 統計與數據科學學院，烏魯木齊 830011）

0 引 言

數字圖像是生物統計學、醫學、軍事、在線個人相冊等領域最重要的信息載體之一。如一張自拍，可以描述人們的外貌，也可以反映其大致的年齡和健康狀況。因此，如何保證圖像信息具有安全的輸入輸出環境是一個很大的挑戰。在各種圖像安全技術中，最常用且有效的措施是圖像加密技術。

混沌系統用于密碼學是非常合理的，并且廣泛應用在圖像加密領域。庹朝永等提出一種新的彩色圖像加密算法，該算法首先通過二維Logistic混沌映射產生偽隨機序列進行像素置亂，然后聯合比特異或與隨機重組將各像素值轉換為相應的二進制，最后對每個24位像素值進行RGB 3種顏色重新組合得到新的加密圖像，然而該算法計算強度與空間需求偏高；廖春成等利用明文像素值來計算混沌系統的參數和預迭代次數，有效提高了明文敏感性。該算法通過Kent混沌系統迭代產生混沌序列實現全局置亂，然后進行比特級置亂得到加密圖像。Yueping Li等提出了一種基于高維混沌的圖像加密算法，該算法通過5維多翼超混沌系統產生的密鑰流與原始圖像有關，然后分別運用像素級置亂和比特級置亂來混淆圖像像素位置，最后使用擴散操作來改變像素值；伍朝陽等提出一種結合像素置亂與比特置亂的超混沌Chen系統，對圖像進行加密的算法；胡春杰等提出了一種新的二維離散型混沌映射，并利用改進的Logistic映射，對圖像進行置亂操作，然后進行異或運算和比特位的交叉換位得到最終密文圖像。

本文設計了一種基于Logistic-Sine混沌映射與比特重組的圖像加密方法，首先利用Logistic-Sine混沌映射對明文圖像進行全局置亂，然后通過比特重組操作將經過全局置亂的圖像轉化為中間密文圖像，最后經過水平方向擴散的比特異或得到最終的加密圖像。最后的仿真實驗分析說明：該算法可以抵御各種類型的攻擊，有較高的安全性和穩定性來保護圖像。

1 Logistic-Sine映射與比特重組

1.1 Logistic-Sine映射

傳統的一維Logistic和Sine映射雖然被廣泛應用在圖像加密中，但依然存在很大的局限性。如：其僅在相應的參數范圍內處于混沌狀態，但依然存在一些參數并不處于混沌狀態。因此，本文設計了一種由Logistic和Sine映射延伸推導得出的Logistic-Sine混沌映射，其表達式如式（1）：

其中，模函數（）表示取模，返回余數。

經過模運算后，循環迭代可以得到一個取值在0～1之間的混沌序列。雖然，模運算會加大運算量和加密時間，但是通過增加模運算，使得Logistic-Sine映射的參數的范圍不僅僅局限于（0，4］之間，并且擴大了系統的混沌區域，同時加密系統的密鑰空間也會相應擴大，可以更好的抵抗窮舉攻擊。

圖1（a）～1（b）分別是Logistic-Sine映射的分岔圖和Lyapunov指數變化圖。從圖中可以看出，Logistic-Sine映射在整個參數范圍內都處于混沌狀態，且分布均勻。由此說明本文設計的Logistic-Sine映射，混沌性能比較優越，用于圖像加密過程是可行的。

圖1 Logistic-Sine相關圖Fig.1 Logistic-Sine correlation diagram

1.2 比特重組

現有的混沌系統圖像加密思路可以從兩方向入手：一是在像素的基礎上對圖像進行加密，將像素作為最小的元素加以研究，而數字圖像就是所有像素的集合；二是在比特級的層次上對圖像進行加密，將每個十進制像素值轉換為二進制值，同時劃分為若干個比特平面，并繼續在這些比特平面上進行比特級操作。例如，256級灰度圖像中的每個像素值可以轉化為對應的8位二進制數來表示，這時可以將一幅256級的灰度圖像劃分為8個比特平面，第（1，2，…，8）個比特平面就是所有像素的第個比特值的集合，而且比特平面位級越高，其中包含的原始圖像的有用信息就會越多。

基于比特的圖像加密算法是近些年才被提出來的，其可以在比特級層次上同時改變像素位置及其像素值。本文就是在比特級的層次上對圖像進行加密，將Logistic-Sine混沌映射和比特重組相結合，該算法在安全性、穩定性等方面表現出了優越的特性。

2 加密算法過程

圖像加密算法分為置亂、比特重組和擴散3個階段。第一階段的置亂過程是利用Logistic-Sine映射迭代，產生混沌偽隨機序列，進行全局置亂。第二階段的比特重組過程，是將全局置亂后的十進制矩陣經過比特重組操作，得到中間密文圖像。第三階段的擴散過程是將中間密文圖像經過水平方向擴散的比特異或操作，得到最終的密文圖像。 本文加密算法流程如圖2所示。

圖2 圖像加密算法流程圖Fig.2 Flowchart of image encryption algorithm

2.1 置亂

置亂過程的具體實現步驟如下：

（1）選取一幅大小為的明文圖像，利用式（2）和式（3）計算像素矩陣中所有像素值的總和sum和平均像素值，然后利用式（4）、（5）分別計算出Logistic-Sine混沌系統的控制參數和初始迭代的次數。

其中，是與明文密切相關的量，可以有效抵抗選擇對明文的攻擊。

（2）將輸入的初始密鑰（，）帶入到式（1）。

其中，是隨機輸入的控制參數。預迭代次后去掉前個迭代值，可以消除暫態效應的影響。

（3）全局置亂將分別進行行置亂和列置亂。

圖3 行置亂示意圖Fig.3 Schematic diagram of row scrambling

2.2 比特重組

將經過置亂階段得到的十進制矩陣進行比特重組操作，得到中間密文圖像矩陣。具體步驟如下：

（1）利用Logistic-Sine混沌系統繼續迭代次，生成一個長度的混沌序列｛，，，…，q｝。

（2）將十進制矩陣依據行優先原則轉化為一維混沌序列｛，，，…，r｝，同時將其像素值r轉化為對應的二進制數。如，取出的像素值r＝145，則對應的二進制數為10010 001。

（3）通過比較序列中相鄰像素的大小，對序列的像素值r進行比特重組。操作過程如下：

圖4 比特重組示意圖Fig.4 Schematic diagram of bit reassembly

2.3 擴散

在本文的圖像加密算法中，使用水平方向的擴散。將中間密文圖像作為輸入端，從圖像的第一個像素開始，依次逐行向前移動。在此過程中，依據行優先的原則，保留第一行第一個像素不變，對第一、二個像素進行比特異或得到新的第二個像素，將其與第三個像素進行比特異或得到新的第三個像素，以此類推，直到最后一行的倒數第二個像素與最后一個像素進行比特異或結束。經過水平方向的擴散操作，可以得到最終的密文圖像。 具體算法如下：

以上是圖像加密的算法過程。而解密算法其實就是加密算法的逆過程，在此不再贅述。

3 實驗結果與分析

在本文的實驗過程中，選取256×256的Lena灰度圖，在Win10操作系統下，以MATLAB R2017a為軟件工具模擬仿真實驗過程。設定Logistic-Sine混沌系統的初始密鑰（，）（0.234，0.128）。對Lena圖進行加密和解密后的圖像如圖5所示。

圖5 加解密效果Fig.5 Encryption and decryption effect

由圖中可見，該算法加密效果較好，既可以很好的隱藏原文信息，又可以很好地恢復原文圖像。一個好的加密算法應該能夠抵抗各種攻擊，因此對該算法進行了密鑰空間分析、統計分析和密鑰敏感性分析等，驗證了該算法的安全性和穩定性。

3.1 密鑰空間分析

密鑰空間是指在加解密過程中需要用到的密鑰總數，密鑰空間的大小影響著加密算法能否有效抵抗窮舉攻擊。本文算法采用Logistic-Sine混沌系統的2個參數（，）作為初始密鑰，計算機系統可以處理64位數據，且數據設為雙精度浮點類型，則密鑰空間為2。一個理想的加密算法需要有足夠大的密鑰空間來抵御窮舉攻擊，其值不應該小于2。顯然，本文加密算法具有足夠大的密鑰空間。

3.2 統計分析

良好的圖像加密算法應該對任何形式的統計攻擊都具有穩定性，因此可通過直方圖、相鄰像素間相關性和信息熵來分析加密算法的抗統計攻擊能力。

3.2.1 直方圖

圖像直方圖通過繪制圖像的像素值來說明圖像中的像素分布。理想的加密算法應該擁有均勻分布的密文直方圖，因為其需要隱藏明文的有用信息。本文加密算法生成的明文圖像及密文圖像的直方圖分布如圖6所示。密文圖像的每個像素值近乎相等，呈現均勻分布，因此沒有給攻擊者提供任何使用統計攻擊的有用信息，使其很難通過統計分析的方法來破解原始明文圖像。

圖6 明文與密文圖像直方圖Fig.6 Histogram of plaintext and ciphertext images

3.2.2 相鄰像素間相關性

良好的加密算法應使密文圖像相鄰像素的相關系數足夠低，用來抵御統計攻擊。為了分析明文圖像和密文圖像中相鄰像素的相關性，分別選取水平、垂直和對角方向上的相鄰像素加以分析，相關性分布如圖7所示。明文圖像中相鄰像素的分布比較集中，說明明文圖像相鄰像素相關性較高；密文圖像中相鄰像素比較離散，說明密文圖像相鄰像素相關性較低。相鄰像素相關性計算公式如下：

其中，、是圖像中兩個相鄰像素的灰度值，為圖像中選擇的像素總數。

通過選取加密算法較好的3種算法與本文算法進行對比（對比結果見表1）發現：本文提出的算法在水平、垂直、對角3個方向的相關系數都接近于0，可以很好的消除相鄰像素相關性；信息熵值更接近理想值8；值均超過0996、值均超過0334，能夠有效抵抗差分攻擊等攻擊手段。因此，該加密算法可以很好的應用到圖像加密過程中。

表1 本文算法與文獻［3，7，8］結果對比Tab.1 Comparison of the results of the algorithm in this paper and the literature［3，7，8］

從表1中可以看出，密文圖像相鄰像素的相關性較低，說明本文所提出的加密算法可以很好的抵抗統計攻擊。

3.2.3 信息熵分析

信息熵是一種無序的、不可預測的不確定性度量。為了計算信息源的信息熵（），則有：

式中：（s）為信號s的概率；是信號源的總數。

對于一個具有256個灰度級的加密圖像，理想的信息熵應為（）8。經過計算得到的密文圖像的信息熵值見表1，可以看出密文圖像的熵非常接近理論值8，說明本文加密算法可以很好地抵御信息熵攻擊。

圖7 加密圖像相關性Fig.7 Encrypted image correlation

3.3 敏感性分析

加密算法應能滿足密鑰的敏感性，這樣才能在一定程度上保證加密系統可以有效抵抗差分攻擊。

3.3.1 明文敏感性分析

良好的加密系統，應該確保對明文圖像的任何微小改變都會導致加密圖像的顯著差異，即明文敏感性。 通過計算（像素數變化率）和（歸一平均變化強度）來衡量明文敏感性。

其中，、分別為圖像的行和列；、分別表示密文圖像和明文圖像發生微小變化后的密文圖像；函數用來比較兩個數值是否相同。

當（，）（，）時（（，），（，））0，否則（（，），（，））1。越接近理想值09961，說明密文對明文的敏感性越好，而越接近理想值03446，說明加密算法抵抗差分攻擊的能力越強。

3.3.2 密鑰敏感性分析

密鑰敏感性是指當密鑰發生微小變化時，得到的密文圖像也會引起很大變化。

以圖5（b）的加密圖像為例，圖8給出了密鑰微小變化時的仿真實驗結果。其中，圖8（a）和圖8（b）分別是密鑰?。ǎ?23410，0128）和（，）（0234，012810）的密文圖像。 由此可見，即使密鑰發生微小變化，也會生成完全不同的加密圖像，證明該加密算法的密鑰，即使存在微小的差異也不能正確解密圖像。

圖8 密鑰敏感性分析Fig.8 Key Sensitivity Analysis

4 結束語

本文設計了一種Logistic和Sine映射的非線性組合Logistic-Sine混沌映射，通過Logistic-Sine映射的分岔圖、Lyapunov指數變化圖對其混沌性能進行了分析。結果表明，該算法具有良好的動態特性，適合應用于圖像加密中。此外，比特重組方法也提高了加密效率。將Logistic-Sine映射與比特重組相結合，設計的圖像加密方案，通過一系列安全性分析，表明該算法是安全可靠的圖像加密算法。

目前，本文僅對標準256×256的Lena灰度圖像進行了仿真實驗和相關安全性分析，后續工作考慮進一步將加密方案推廣到對彩色圖像的研究上，同時考慮本文加解密算法能否進一步優化，以期獲得更好的加密性能。