讓信息技術成為學生學習的認知工具

【摘 要】以2019年人教版高中數學（A版）教材選擇性必修中的“解析幾何”內容為素材，以信息技術為載體，在課堂教學中可采用一種有別于常規的教學組織方式，讓信息技術成為學生在學習過程中的認知工具，促進學生對數學本質的理解，發展學生的數學思維能力，提高其數學核心素養。

【關鍵詞】解析幾何;信息技術;創造性思維

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2022）27-0012-03

【作者簡介】王凱，浙江省杭州市源清中學（杭州，310015）教師，高級教師，杭州市普通高中新課程新教材研究小組成員，杭州市高中數學青年教師核心組成員。

解析幾何是高中數學中與“數形結合”聯系最緊密的內容之一，“在建立幾何直觀的基礎上，利用代數方法予以表達”是其基本理念。在以往的解析幾何教學中，無論是新授課還是習題課，教師經常會使用信息技術軟件演示動畫效果，借助直觀呈現來幫助學生更好地理解概念和思考問題，從這個層面上來說，技術的引入僅僅是為了驗證問題。在信息化的環境下，學習解析幾何，應嘗試用技術去設計實驗、驗證猜想，用技術的力量促進學生對數學知識的理解走向更高層面。

2019年人教版高中數學（A版）教材強調通過信息技術軟件探究圖形之間的關系[1]，把信息技術作為學生的一種認知工具，在教學過程中幫助學生的學和教師的教。[2]“幾何畫板”是由美國Key Curriculum Press公司制作并出版的軟件，它能夠動態地展現出幾何對象的位置關系、運行變化規律，是一款用于輔助教授代數、歐氏幾何、微積分等數學知識的動態幾何軟件。

本文以人教A版教材選擇性必修中的“解析幾何”內容為素材，以“幾何畫板”為工具，談談如何構建信息技術與數學教學深度融合的課堂，讓信息技術成為學生學習的認知工具。

一、解題后顯形

筆者以2019年人教A版選擇性必修一第二章“直線和圓的方程”中“圓與圓的位置關系”的例6為例題，引入本節課。

問題：如圖1，已知圓O的直徑AB=4，動點M與點A的距離是它與點B的距離的[2]倍，試探究點M的軌跡，并判斷該軌跡與圓O的位置關系。

對于這個問題的解決，教材立足解析法，引導學生通過適當的建系，用代數式表示幾何關系，然后化簡，求出點M的軌跡方程。在解決此問題后，課本中又提出：“如果把本例中的‘[2]倍’改為‘k（k>0）倍’，你能分析并解決這個問題嗎？”這種由特殊到一般的過程，旨在培養學生數學運算和邏輯推理的核心素養。

以上解題方法需要學生具備較強的抽象思維能力，但由于缺少對幾何圖形的直觀觀察和理解，所以很多學生不確定通過計算得出的答案是否準確。此時教師可以借助幾何畫板，展示點M的軌跡方程。如圖2，筆者用繪圖軟件作點A（-2，0）、B（2，0），設置參數[k]，作線段BD并度量出其長度r2。以點B為圓心，BD長為半徑作圓B;以點A為圓心，k·BD長r1為半徑作圓A。圓B與圓A交于點M，改變BD的長度，就可以得到點M的軌跡。

此過程使點M的運動軌跡直觀地呈現在學生面前，讓不可見的“代數關系”變成了可見的“幾何圖形”。上述教學中，筆者先用解析的方法進行代數推理，再用信息技術工具進行數學實驗，讓學生通過數和形的角度去理解這種比值構圓的過程。高中數學中有很多概念具有較強的抽象性，所以在概念教學的過程中，教師可以借助信息技術讓學生直觀地感知概念，這對學生正確理解、掌握數學概念有很大的幫助。

二、用變形引導探究

通過以上過程，學生對信息技術在解決幾何問題中的應用有了一定的認識。此時教師可以對上述問題進行拓展，增加變量，引導學生使用信息技術再現幾何圖形的運動過程，強化學生對信息技術的理解和運用。

實驗探究：若平面中一動點M到定點A和B距離之積為定常數k，即[AM·MB=k（k>0）]，請嘗試用繪圖軟件畫出滿足條件的圖形。

對于這個問題，我們可以把之前問題中圓[A]的半徑改成[kBD]，這在幾何畫板中非常容易實現。我們可以觀察到[k]的值會對圖形產生比較大的影響。圖3中兩個小圓是[k=2];類似于“[∞]”符號的圖形是[k=4];接下來3條封閉曲線由“凹”到“凸”依次是[k]等于6、8、10。接下來可以讓有能力的學生用解析法來探究該圖形的解析式。

以上探究過程以課本的例題為源，改變情境，借助技術探究結果，看似和之前處理問題的方式一致，但在化簡的過程中分類較多，對學生解析和操作能力的要求也較高。在此過程中，學生能夠自主利用信息技術解決問題、思考數學現象、發展數學思維，為接下來系統學習圓錐曲線提供了認知基礎和心理準備。我們的教學應該追求這樣一種境界——讓數學知識發生發展的過程合理，也要讓學生在學習過程中認知的過程、思維的過程合理。[3]

三、理解代數關系

通過信息技術再現幾何圖形的運動軌跡，化抽象的代數關系為直觀的幾何圖形，提高了學生利用信息技術分析和解決問題的能力。但在考試過程中，學生往往只能利用抽象思維推理出題目中的代數關系，因此教學最后的落腳點還是要落在代數關系的計算上。而信息技術則作為一種認知工具，能夠加強學生對此代數關系的理解，提高其解決問題的能力。

任務1：若平面中一動點[M]到定點[A]和[B]距離之和為定常數（即[AM+BM=2a]），請嘗試用繪圖軟件畫出滿足條件的圖形，并求出動點的軌跡方程。

任務2：若平面中一動點[M]到定點[A]和[B]距離之差的絕對值為定常數（即[AM-BM=2a]），請嘗試用繪圖軟件畫出滿足條件的圖形，并求出動點的軌跡方程。

按照之前的思路，解決這兩個問題時，教師可借助幾何畫板在繪制圖形的過程中，引導學生觀察方程中參數的變化對方程所表示的曲線形狀、大小的影響，通過演繹推理，最終完成任務。

從最初的問題出發，學生在構圖軟件中再現了平面中一動點M到兩定點A和B距離之比、之積、之和、之差（的絕對值）為定常數的點軌跡，加深了對代數關系的理解。信息技術的介入能使學生的邏輯推理方向更加明確，找到解決問題的關鍵點。信息技術在這里不僅僅是學具，更是學生認知的孵化器，讓學生“學會學習”[4]，培育學生的創造性思維。

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中指出：“注重信息技術與數學課程的深度融合，提高教學的實效性。[5]”以上教學設計更加側重利用信息技術工具培養學生獨立自主學習的意識，突出了數學知識的連貫性，旨在培養學生的學習興趣，提升學生的學習能力。在這一教學過程中，學生的學習由被動轉為主動，經歷了探索和求新的過程，培養了創造性思維。

作為教師，要努力為學生搭建基于信息技術的數學實驗平臺，比如幾何畫板、網絡畫板、GeoGebra和圖形計算器等，結合這些信息技術各自的特點，在教學的過程中組合使用，以活躍學生的思維、拓寬其視野、培育其創新精神。

【參考文獻】

[1]章建躍.核心素養立意的高中數學課程教材教法研究[M].上海：華東師范大學出版社，2021：262，251.

[2]人民教育出版社課程教材研究所.普通高中教科書教師教學用書數學選擇性必修第一冊（A版）[M].北京：人民教育出版社，2020：11.

[3]王凱，蘇有生. 基于“兩個過程”的課堂教學設計——以“空間向量的正交分解及其坐標表示”為例[J].中學數學教學參考，2018（16）：38-40.

[4]王凱. 基于“兩個過程”合理性理念下的探究課設計——以“余弦定理”的教學為例[J].中小學數學（高中版），2021（5）：29-31.

[5]教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020：3.