線上線下融合的高中統計教學研究

摘要：新冠肺炎疫情期間，教師結合學生生活實際開展了“體質健康與學業水平關系的探究”線上線下融合教學活動，旨在引導學生綜合運用概率統計知識，對實際問題進行建模、分析、解釋并得出結論，讓學生在探討結論合理性的基礎上改進模型。這種線上線下融合的教學發揮了線上教學“突出過程性”、線下教學“體現真實性與深刻性”、融合教學“突出學生學習主體性”的組合優勢，加深了學生對數學知識的思考，促進了學生數學學科核心素養的提升。

關鍵詞：線上線下;融合教學;統計過程

線上教學成為2020年新冠肺炎疫情以來常規課堂教學的替代品。隨著疫情的反復，線上線下教學走向融合成為必然趨勢，也促使學校和廣大教師積極探索并優化這一教學新形態。但數學教學也不能從以前習慣于線下教學的一個極端走向完全依賴線上教學的另一個極端。筆者將結合“體質健康與學業水平關系的探究”案例，論述如何從現實和需求出發，堅持過程與結果導向，科學設計探究活動，選用適宜的教學形態。

一、線上線下融合教學優勢互補有利于達成教學目標

相比線下教學，線上教學具有明顯優勢，如時間和空間相對自由，學生合作交流的方式更靈活，學生個體實踐和過程性體驗更充分。然而，線上教學也有不足，主要表現為：因不是真實面對面交流，教師難以及時捕捉、獲取每個學生的學習狀態，尤其在大班授課模式下，學生學習狀態及其學習進程中存在問題的暴露和發現往往有一定滯后性。線下教學雖然在一定程度上可以避免這些問題，但因時間和空間受限，其弱勢和不足也是顯而易見的。只有線上線下融合教學，才能兼顧優點、克服缺點，這是教育發展趨勢。

高中統計教學不同于傳統代數或幾何內容的教學，主要表現為目標和要求不同：要求學生記住統計的某個概念或會公式計算，更要體會數據中蘊含著信息以及統計的不確定性等，深刻理解統計概念的意義，經歷統計的過程，體會統計思想。在學生學習完高中概率統計課程之后，筆者針對統計應用知識模塊以線上線下融合的方式開展數學探究活動課的教學。筆者希望學生在探究學習過程中，從身邊的現象出發，綜合運用數學建模思想和概率統計知識，合理建模，收集、整理數據，理解、分析數據，初步獲得結論，并進行反思和修正，以此學會概括與分析，提高數學建模素養和數據分析素養。

二、基于生活實際確定探究主題和教學目標

筆者發現一個有趣的現象：往往學校運動會上團體成績突出的班級學習成績排名也比較靠前。這給人造成一種感覺：學習成績好的學生體育成績也好。事實是否如此呢？以前并沒有數據支撐這一結論。為此，筆者圍繞“體質健康與學業水平關系的探究”這一貼合學生生活實際的主題，引導學生進行探究。從探究條件看來，大多數學校具備開展此課題探究的數據基礎：學生的體質健康水平是每個學年都要測試的，學校存有數據，而高中生每學期都會統一參加期中、期末考試，以測試其學業水平。可見，研究體質健康與學業水平關系所需要的數據比較容易獲取。為保護學生隱私，教師將高二年級的學生體質健康成績和期末考試學業水平成績進行了匿名化處理，將成績進行線性變換，以避免學生對號入座。

高中階段概率統計知識的總結和應用，宜以學生生活中的實例為基礎。此模塊教學旨在引導學生在學習過程中合理利用知識，對實際問題從數據分析的角度，初步進行統計學研究，并對研究結果進行解釋和評價，體會統計思維與確定性思維的差異。教學中，教師需要鼓勵學生獨立思考、自主學習、合作交流，以多種方式參與探究活動，激發學習興趣，提高實踐能力和創新意識，認識數學的科學價值^[1]。“體質健康與學業水平關系的探究”的教學目標：學生綜合運用概率統計知識，對實際問題進行數學建模，通過對數據的分析和研究，解釋現象，得出結論，并探討結論的合理性，改進模型。確定教學目標也是整個教學設計的重點工作之一，線上線下融合的教學以實現課程目標為導向。如何從數據分析的角度，科學闡述數據結果的現實意義，用統計觀點來解釋問題，是學生面臨的主要難題^[2]。

三、線上線下融合的教學實踐過程

對于“體質健康與學業水平關系的探究”，教師分三部分教學：第一部分是線上教學活動;第二部分是線上線下融合的小組探究活動;第三部分是線下研究成果的展示、分析與討論。

（一）線上教學活動

線上教學活動分兩步進行。

第一步：梳理與主題相關的概率統計的知識網絡圖。

此環節，在線上教學環境下，學生復習概率統計知識，學習使用統計軟件。學生通過回憶的方式進行概率統計知識的碎片化呈現，并在教師的引導下總結、梳理，建立知識網絡。教師借助思維導圖軟件輔助學生繪制知識網絡圖。

學生是在高一學習概率統計模塊內容的，當時正處于疫情期間，他們只能在家上網課參與學習。從實際效果來看，學生的表現兩極分化比較嚴重，有的學生對這部分知識印象不深。此次研究中，教師首先采取讓學生互相啟發的方式進行復習，喚起回憶。由于是線上教學，學生可以通過電腦發送信息進行交流。這既可以避免線下課堂上由于遺忘而不敢參與問答的尷尬，又可以讓他們從研討中建立起知識間的聯系。學生將知識連接成概率統計知識網絡，既復習了舊知識，又能為接下來的問題探究提供思考路徑。事實上，統計知識的脈絡清晰了，學生自然而然可以從中體會數據分析的過程與方法：收集數據、整理數據、提取信息、構建模型、推斷結果、獲得結論等。

第二步：給出主題討論內容，開展線上數學建模活動。

在學生梳理完知識后，教師提問：“體質健康與學業水平有無關系？如要探究體質健康與學業水平的關系，需要獲得哪些數據，運用什么方法？”由此，提出要研究的課題，即探究學生體質健康與學業水平的關系。

各組學生通過初步探究，提出面臨的技術問題，集思廣益研究對策，并接受軟件應用培訓。軟件培訓工作適于線上進行，學生同步打開Excel或其他軟件，一邊操作一邊學習。

數學建模需要小組成員協作完成，教師應留給學生課下探究的時間和空間。此次線上教學安排在周五數學課上進行，就是為了方便學生利用周末參與小組探究活動。學生的分組探究可以通過線上或者線下的方式進行，互聯網的應用使得合作學習的方式更加多樣化，打破空間局限。

（二）線上線下融合的小組探究活動

對于小組探究活動，教師鼓勵學生利用騰訊會議、微信實時通信等即時網絡交流工具進行遠程在線研討，這樣有利于充分發揮小組成員的主觀能動性。同時，學生也可以利用在校的自習時間面對面交流、討論。小組成員探究討論之后，確定主題，分工制作用于成果匯報的幻燈片，線下商定匯報研究成果的人選。

（三）線下對結果進行過程性分析與討論

“體質健康與學業水平關系的探究”線下研究成果的展示和交流按照如下形式展開。

1.學生分組展示研究過程及結論，師生交流討論

在小組成員共同探究后，教師為各組之間互相學習創造機會，讓學生在數學課堂上面對面研討。小組成員匯報各自研究情況，引發其他學生思考，隨后匯報小組成員可以接受提問，也可以接受質疑，通過交流、研討改進統計模型。在此過程中，教師針對性引導學生討論。以下是研討過程中的幾種情況。

A組的研究方向是：探究體質健康水平與學業水平的相關性，以及身高體重指數（即BMI）與學業水平的相關性。他們首先將學生成績按照等級分組，用獨立性檢驗方法發現體質健康成績水平與學業成績水平之間具有顯著的相關關系（見表1）。在研究BMI與學業成績總分關系時（如圖1），他們采用抽樣調查的方式繪制散點圖，并進行了獨立性檢驗，發現兩者之間不存在顯著的相關關系。

B組的研究方向是：探究男女生體質健康水平與各自學業水平的相關性。他們首先通過散點圖發現相關關系不明顯（如圖2和圖3），隨即改為利用原始數據進行分組，將不同體質等級的學生的均分計算出來進行比較分析（如圖4），發現體質等級與學生均分之間存在明顯正相關關系。

此外，也有小組探究體質健康成績與各學科之間的關系;或探究體質健康分項與學習成績關系，如長跑成績與語文成績等。

2.師生共同探究問題的改進方案

在學生分組匯報和討論后，師生共同探究如何改進研究方案。通過交流和討論，學生對于問題有了更深入的理解，既能展示自己小組的優勢，又能學習其他小組好的思路和方法。同時，通過共同研討，學生也發現了研究中存在的問題，知曉如何改進。

例如，上面的A組匯報后，全班學生對于該組的研究過程和研究結論進行了討論和分析，肯定了A組的研究方向，同時指出其研究BMI與學業成績總分關系時所用樣本量過小，由此得出獨立性檢驗的結果缺乏足夠的證明力。這個研究過程的科學性尚存在一定漏洞。因此，該組需要考慮樣本量對結果的影響并改進設計。

3.師生共同回顧梳理統計研究的步驟和方法

師生一起對統計研究的步驟和方法進行梳理，并針對研究問題，重點探討了以下研究過程和方法。

一是在數據清洗方面，應剔除無效數據。例如，極少數學生因為身體原因不能參加體質健康測試，他們的學業水平成績是存在的，但體質健康成績只是及格標準。這部分數據對研究無效，小組探究時應將有關信息從原始數據中剔除。

二是在抽樣方法的選擇方面，究竟是選擇簡單隨機抽樣還是分層抽樣，小組需要根據研究問題做出適當選擇。在探究過程中，有些小組并沒有使用整個高二年級的學生體質健康成績和學業水平成績進行研究，而是按照統計學方法，采用抽樣調查的方式，在已有數據中抽取一定數量的樣本進行研究。這就涉及抽樣方法問題：究竟是采用簡單隨機抽樣，還是按照男女生比例進行分層抽樣來研究。一般來說，高中男女生的體質健康水平存在較大差異，因此比較合理的方式還是分層抽樣，然后按性別分別進行研究。

三是在確定抽樣方法后，如何確定樣本容量以及確定的依據。樣本容量的確定在高中統計教學中并沒有涉及，學生通過該問題的研究認識到要做科學的研究，還需要進一步學習專業的統計學知識。教師可以引導學生思考“樣本容量的確定可能與哪些因素有關”。事實上，學生在該問題的研究過程中也可以想到，樣本容量的確定可能與總體方差、允許誤差大小、抽樣方式、抽樣的組織形式等因素有關。

四是抽樣的不同會造成統計指標不同。但這是正常的。不同小組即使研究同一方向，由于抽樣不同，對數據的分析和解讀也會有不同的結果。學生需要明確，這些不同的結果只是反映由于抽樣的不同而帶來統計指標有所不同，并不意味著某組的研究是錯的，而應對各組的研究結果進行對比分析。

五是正確解讀研究結果。例如，數據結果顯示，被研究的兩者顯著相關但線性相關不明顯，說明它們不是簡單的線性關系。再如，體質健康水平高的學生總體學業水平成績也高一些，說明體質健康與學業水平之間是有一定的正相關，但是不能證明存在因果聯系。

4.師生共同歸納與總結

師生共同回顧反思，探究研究的過程以及使研究結果更加客觀合理的方法。例如，一次考試數據和體質健康數據對于體質健康與學習成績的推斷缺少穩定性，可以用另外一次考試成績進行穩定性檢驗。再如，設問“是否可以將本年級作為樣本進行本校學生的研究”。學生認為證據不足，提出如對本校學生進行研究，還需要先對各年級學生進行分層抽樣，再進行數據分析。在師生共同回顧反思的過程中，統計思想得以滲透。

最后，師生總結研究收獲。教師組織各組對研究方案進行交流和分析，使學生領會統計的基本方法，科學合理地分析并解讀數據，提高分析、解決問題的能力以及數學建模與數據分析素養。

四、研究結論與啟示

此次線上線下融合的數學教學活動，圍繞“體質健康與學業水平關系的探究”主題展開，也是一次數學探究性教學。教師組織線上線下融合的教學活動，讓學生經歷數學建模以及數據分析的過程，潛移默化地提高了他們的數學建模素養和數據分析素養，幫助他們深化理解概率統計知識。此次教學活動包括線上學習和線上線下融合小組合作探究以及線下分享和討論3個環節。綜觀整個數學教學實踐活動，筆者總結了以下幾條經驗。

一是線上教學可以拓展教學的時空以及交流形式，突出數學探究問題的過程性。學生探究“體質健康與學業水平關系”這一課題，不同于以往在數學課堂上解答數學題目，需要經歷一個完整的數學建模過程：從理解實際問題出發進行數學抽象，運用所學數學知識構建數學模型，進行數據分析，得出數據結果，并解釋和評價結果，反思模型……這個過程不是課堂40分鐘內可以完成的。為此，教師組織此次數學探究課活動，帶領學生進行一次全過程的數學學習體驗。在數學建模的過程中，學生不僅要用Excel等軟件處理數據，而且要親自操作和實踐。但傳統教室并未配備供學生獨立操作的電腦，線上教學則可以彌補上述不足。線上環境下，學生有更多的自主學習時間，人人都有獨自嘗試與實踐的機會，可以在線實時互動、合作交流，碰撞思想，分享思路。教學時空的拓展極大地豐富了教師與學生、學生與學生的交流形式，也使數學探究性問題的過程性更有利于實現。

二是以線上線下融合的形式分組合作探究，有利于突出學生學習的主體性。學生之所以選擇體質健康水平與學業水平相關性研究這一課題，源于他們對身邊現象的思考。學生基于日常生活中的觀察形成這樣一個認識，學校運動會中，往往學業成績高的班級其運動成績也比較好。由此，學生普遍認為：學習好的體育也好。這一認知是否正確，教師讓學生帶著這樣的疑問進行探究，既貼近學生的生活，又能讓學生用所學數學知識分析、解決問題，自然能夠吸引學生參與。數學教育要面向全體學生，使人人都能獲得良好的數學教育，讓不同的人在數學上得到不同的發展。教師基于這樣的理念設計此次數學探究活動，以學生為主體開展數學探究活動，讓不同的學生從不同的角度去分析、解決問題。

三是線下分享和討論，有利于學生理解知識和提升素養，實現線上線下融合的一致性。線上教學打破了時空的局限，豐富了交流形式，突出了探究問題的過程性和學生學習的主體性。線下的討論和交流，則進一步提升了學生的認識，加深了他們對知識的理解以及數學探究過程意義的理解。線上教學環境下，學生的自主探索以及形式靈活的個體成員合作交流，使得每個學生得以充分體驗探究過程，一定程度實現其學習的自主性和主體性。線下教學環境下，在學生有一定學習體驗的基礎上，教師直接引導并組織學生之間交流，使學生提高認識，發現不足并改進。線上線下融合的一致性體現在學生學習的延伸、提高和拓展。線上教學與線下教學是互為補足、改進的關系，而不是簡單的不同教學形式的轉化。

此次線上線下融合的數學探究實踐，是一次較為成功的嘗試：學生真正從身邊現象出發經歷較為完整的數學建模的過程和數據分析過程，探究結論是經過研討自主得出的。當然，學習內容不同，線上線下教學的融合方式也應該有所不同。教師探尋適合線上線下融合的課題開展基于生活情境的探究式教學，打破時空壁壘，引導學生深度思考，并真正培養學生數學學科核心素養，這才是線上線下融合教學的真諦。

注：本文系2019年度教育部人文社會科學研究規劃基金項目“高中數學核心素養理論框架的實證及實踐研究”（編號：19YJA880009）和北京市教育科學規劃一般課題“不同時代背景下北京市數學卓越教師特征與成長路徑的比較研究”（編號：CDFB18361）的研究成果。

參考文獻

[1] 馬一.線上線下混合式教學行動研究[J].教育技術月刊，2020（7）：97-105.

[2] 尤慧，朱文芳，盧潔.基于“慕課”的高等數學混合式學習模式的探究與實踐[J].數學教育學報，2020（4）：85-90.

（作者郎春雨系清華大學附屬中學教師;郭玉峰系北京師范大學數學科學學院教授，本文通信作者）

責任編輯：祝元志