借助幾何直觀 發(fā)展數(shù)學(xué)語言

摘 要：數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)思維的載體之一，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語言就是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。在教學(xué)中，教師可以借助幾何直觀，通過創(chuàng)設(shè)直觀情境，啟發(fā)數(shù)學(xué)語言;積累直觀經(jīng)驗(yàn)，形成數(shù)學(xué)語言;借助直觀圖形，錘煉數(shù)學(xué)語言;建構(gòu)直觀模型，轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言等策略，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)語言水平，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深度發(fā)展。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);幾何直觀;數(shù)學(xué)語言

作者簡介：何蓮琴（1979—），女，江蘇省蘇州市吳江區(qū)黎里小學(xué)。

數(shù)學(xué)教育家史寧中教授說過，數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)，是要讓學(xué)習(xí)者會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。在小學(xué)階段，學(xué)生能通過學(xué)習(xí)幾何知識建構(gòu)數(shù)學(xué)語言模型，學(xué)生可以圍繞幾何直觀描述和分析問題，從概念到模型，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得形象直觀、清晰易懂。幾何直觀不僅能有效幫助學(xué)生探尋解決問題的思路，預(yù)估結(jié)果，還能幫助學(xué)生形成自己的數(shù)學(xué)語言和發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

一、創(chuàng)設(shè)直觀情境，啟發(fā)數(shù)學(xué)語言

小學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，數(shù)學(xué)教學(xué)要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，要根據(jù)學(xué)生的生活，創(chuàng)設(shè)生活化的數(shù)學(xué)語言。由于小學(xué)生的思維水平和問題分析能力還處于初級階段，其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還需要直觀手段的支撐[1]。特別是低年級段的學(xué)生，他們看著抽象的文字表達(dá)，很難調(diào)動自身內(nèi)在的思維能力和邏輯推理能力去解決問題。小學(xué)低年級學(xué)生的數(shù)學(xué)語言應(yīng)該是生動、形象和直觀的，因此教師要基于學(xué)情，站在學(xué)生的角度，代入學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生逐步形成自己豐富而有個(gè)性的數(shù)學(xué)語言。

例如經(jīng)典的“雞兔同籠”問題：籠子里一共有8只雞和兔，從下面數(shù)有22只腳，那么雞和兔各有多少只？由于此類題目描述比較簡潔，數(shù)量關(guān)系又比較隱晦，對于小學(xué)低年級學(xué)生來說難度比較大。那如何讓低年級學(xué)生順利完成解答呢？這就需要教師創(chuàng)設(shè)直觀的教學(xué)情境，把抽象的數(shù)學(xué)描述形象化。首先，教師提醒學(xué)生回想生活中雞和兔的樣子：雞有1個(gè)頭，2只腳;兔子有1個(gè)頭，4只腳。這時(shí)有學(xué)生提出：“我們可以畫圖表示，用圓形‘○’表示雞的頭，用兩條線段表示雞的2只腳。”（如圖1）在這位同學(xué)的啟發(fā)下，有學(xué)生馬上說：“我們可以先畫8只這樣的雞，算出腳的數(shù)量：8×2=16（只）。”8只雞對應(yīng)16只腳，跟題目描述的22只腳，還少了6只，不符合題意，該怎么辦呢？另一位學(xué)生接著說：“我們把少的腳添上！”教師追問：“那應(yīng)該怎么添呢？”學(xué)生說：“每只雞有2只腳，每只兔有4只腳，只需要在每只雞上添加2只腳。”于是，學(xué)生紛紛動筆在畫出的雞上再添加2條線段，表示2只腳。此時(shí)學(xué)生的思維都活躍起來了，搶著說：“因?yàn)橄嗖?只腳，需要再像這樣添加三次腳，把3只雞變成兔子。”（如圖2）由此，學(xué)生利用幾何直觀清晰地求出了兔有3只，雞有5只。

在上述教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師通過創(chuàng)設(shè)直觀形象，讓學(xué)生進(jìn)入教學(xué)情境，使學(xué)生很順利地利用直觀圖像，豐富自己的表象認(rèn)識，并用自己的數(shù)學(xué)語言描述出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，從而順利地解決問題。

二、積累直觀經(jīng)驗(yàn)，形成數(shù)學(xué)語言

英國數(shù)學(xué)家格里菲斯曾說過，直觀的幾何圖形更容易被學(xué)生掌握和接受。對于小學(xué)生而言，幾何直觀就像是他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一根拐杖，又像是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)支架，讓學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)的過程中獲得思維的提升，對其起始階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著非常重要的作用。因此，在教學(xué)中，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生形成畫圖直覺，并借助所畫的直觀圖進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的對比、分析、概括，找到解決問題的突破口;而學(xué)生在畫圖、分析圖形信息和數(shù)量關(guān)系的過程中，能積累幾何活動經(jīng)驗(yàn)，鍛煉用幾何直觀圖形表達(dá)內(nèi)在數(shù)量關(guān)系的圖形化語言能力，提升數(shù)學(xué)理解力[2]。

例如有這樣一道判斷題：1米的和3米的一樣長。這題對于學(xué)過分?jǐn)?shù)乘法的小學(xué)六年級學(xué)生來說不難，而且很容易理解;但是對于只學(xué)過分?jǐn)?shù)意義的低年級學(xué)生來說就有一定的難度，這時(shí)教師就需要借助畫圖的方法來幫助學(xué)生理解。首先教師讓學(xué)生在紙上畫出1米的，由于剛學(xué)過分?jǐn)?shù)的意義和單位“1”，這一步驟難度不大。在繪畫過程中，學(xué)生能清楚地認(rèn)識到，一條線段表示1米長，也就是單位“1”，再把它平均分成4份，其中的3份，就是1米的，也就是米（如圖3）。接著教師讓學(xué)生畫3米的，這時(shí)一部分學(xué)生會受圖3的干擾，畫一條線段表示3米，再平均分成4份，其中1份就表示，但是具體是多少米呢？學(xué)生就開始犯難了，發(fā)現(xiàn)這樣畫圖根本無法解決問題。此時(shí)，教師就可以讓學(xué)生思考如何畫圖更有助于解答這一數(shù)學(xué)問題。于是有學(xué)生提出，3米就是3個(gè)1米，可以把3個(gè)1米“疊”起來（如圖4），然后每個(gè)1米再平均分成4份，總共有3個(gè)米，合起來就是米。這樣的教學(xué)方式能讓學(xué)生積累直觀經(jīng)驗(yàn)，便于他們在以后的學(xué)習(xí)中畫出更易于解題的幾何直觀圖。

幾何直觀作為一種數(shù)學(xué)語言表達(dá)方式，它能幫助學(xué)生理解題意，提升學(xué)生解題思維的敏捷性和簡潔性。在上述教學(xué)環(huán)節(jié)中，學(xué)生可以通過畫圖的失敗經(jīng)驗(yàn)明白，不是根據(jù)題意不加思索地畫圖就能直接解題的，而是要通過思考找到正確的畫圖方式。這樣，學(xué)生才能逐步積累直觀經(jīng)驗(yàn)，在優(yōu)化作圖的過程中發(fā)展自己的數(shù)學(xué)思維，形成圖形語言表達(dá)能力，掌握幾何直觀。

三、借助直觀圖形，錘煉數(shù)學(xué)語言

幾何直觀中“直觀”的含義是指運(yùn)用形象的實(shí)物、圖形、符號等來描述一件事情，分析一個(gè)問題，并簡單直接地解決問題。教師在教學(xué)中應(yīng)遵循直觀原則，引導(dǎo)學(xué)生用實(shí)物、圖形、符號等形式來描述、分析、理解問題，讓復(fù)雜的題目變得簡單明了，發(fā)現(xiàn)題目中的隱藏信息。學(xué)生在這一過程中抽絲剝繭，用形象的數(shù)學(xué)語言優(yōu)化解題方法，運(yùn)用圖形、符號化的數(shù)學(xué)語言彰顯思維層次。

（一）借助直觀操作，強(qiáng)化數(shù)學(xué)語言

康德指出，人類具有一種先驗(yàn)直觀能力。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分發(fā)掘數(shù)學(xué)學(xué)科中的直觀資源，運(yùn)用直觀化的手段、方法和策略，深化學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。

例如，在教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊中“長方形和正方形的認(rèn)識”一課時(shí)，教師先通過課件出示長方形和正方形的平面圖，然后讓學(xué)生觀察這兩個(gè)圖形各有什么特點(diǎn)。由于教師呈現(xiàn)在黑板或課件上的是平面圖形，學(xué)生只能看，不能動手比較，因此學(xué)生此時(shí)用數(shù)學(xué)語言流利地表達(dá)長方形和正方形的特點(diǎn)是有一定難度的。這時(shí)，教師讓學(xué)生準(zhǔn)備長方形和正方形的紙片，并自己動手量一量。教師先引導(dǎo)學(xué)生：“長方形兩條較長的邊長度相等，兩條較短的邊長度也相等。那么正方形的邊有什么特點(diǎn)呢？”這時(shí)學(xué)生拿出尺子進(jìn)行測量，并且匯報(bào)：“老師，我認(rèn)為正方形的4條邊長度都相等。”接著研究長方形和正方形的角的特點(diǎn)，教師讓學(xué)生仔細(xì)觀察長方形的4個(gè)角，并追問有什么發(fā)現(xiàn)。有學(xué)生會猜測這4個(gè)角是相等的。教師繼續(xù)提問：“怎樣驗(yàn)證這4個(gè)角是相等的？”接著，便讓學(xué)生用重疊法輕松驗(yàn)證長方形和正方形的4個(gè)角大小相等，且都是直角。最終，學(xué)生能自己組織數(shù)學(xué)語言，總結(jié)出長方形和正方形的形狀特點(diǎn)。

在以上教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師通過創(chuàng)設(shè)直觀的教學(xué)情境，鼓勵學(xué)生動手操作，同時(shí)適時(shí)地引導(dǎo)和追問，加深學(xué)生對知識的理解，這樣學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)語言同時(shí)得到了發(fā)展。

（二）借助直觀圖形，提煉數(shù)學(xué)語言

數(shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，思維過程更傾向依據(jù)直觀形象的成分，而不是依據(jù)文字或符號表示的定義定理。一個(gè)概念的定義能清晰地揭示該概念的內(nèi)涵，但不能呈現(xiàn)概念的可見對象。因此，理解和掌握概念需要實(shí)在直觀的支撐。

例如，在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”一課中，有這樣一道例題。將4個(gè)同樣大的橙子分給小朋友：（1）每人分2個(gè)，可以分給幾個(gè)人？每人分1個(gè)呢？（2）每人分個(gè)，可以分給幾個(gè)人？（3）每人分個(gè)，可以分給幾個(gè)人？第一問比較簡單，第二問是本課的重點(diǎn)。對此，教師首先讓學(xué)生根據(jù)第二問列式：4÷，接著讓學(xué)生嘗試計(jì)算出結(jié)果，有的學(xué)生將轉(zhuǎn)化成0.5進(jìn)行計(jì)算，有的學(xué)生則畫圖進(jìn)行解釋。一個(gè)橙子可以分給2個(gè)小朋友，那么4個(gè)橙子就可以分給8個(gè)小朋友，便得到4÷=4×2=8（個(gè)）（如圖5）。此時(shí)，教師讓學(xué)生對比兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，很多學(xué)生會覺得這兩種方法不分伯仲。接著教師再讓學(xué)生完成第三問，列式：4÷，這時(shí)有的學(xué)生再將轉(zhuǎn)化成小數(shù)來計(jì)算，發(fā)現(xiàn)難以得出正確結(jié)果，于是學(xué)生都選擇畫圖解答，最后統(tǒng)一列式：4÷= 4×3=12（個(gè)）。由此學(xué)生能感受到畫圖法的優(yōu)點(diǎn)，感受到幾何直觀帶來的解題便利。學(xué)生借助直觀圖形不僅找到了問題解決方法，并且在思考過程中，用自己的數(shù)學(xué)語言提煉出分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法，實(shí)現(xiàn)了從生活語言到數(shù)學(xué)語言的自然過渡。

學(xué)生的數(shù)學(xué)語言可以是課堂上回答問題時(shí)說理的語言，也可以是潛在的符號化圖示語言。因此，教師在教學(xué)實(shí)踐中要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用直觀思維去看圖、讀圖、想圖和畫圖，借助直觀圖形呈現(xiàn)抽象的數(shù)學(xué)原理并理解其中的道理，讓學(xué)生在探究過程中不斷錘煉自己的數(shù)學(xué)語言表達(dá)，最終使口頭語言表達(dá)和直觀圖示語言達(dá)成和諧統(tǒng)一。

四、建構(gòu)直觀模型，轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言

數(shù)學(xué)語言一般有三種形式：一是自然數(shù)學(xué)語言，如一筐土豆重35千克;二是數(shù)學(xué)符號語言，如一筐土豆a元，3筐土豆3a元;三是圖形語言，如線段圖，1段線段表示每筐土豆a元，3段則表示3筐土豆3a元。基于三種數(shù)學(xué)語言的特點(diǎn)，教師要根據(jù)不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)情況對這三種語言進(jìn)行有機(jī)整合和互譯，不斷鍛煉學(xué)生轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)語言的能力。

（一）具體生活模型，靈活語言轉(zhuǎn)化

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級下冊課本在圓柱表面積和體積的知識點(diǎn)后有這樣一道練習(xí)題：有一個(gè)半圓形的水果大棚，需要用白色的塑料薄膜覆蓋，大棚長20米，半徑3米，覆蓋這個(gè)大棚大約要用多少平方米的塑料薄膜？大棚內(nèi)的體積大約是多少？不少學(xué)生看到這樣的文字信息后，思維就停留在水果大棚上了，感覺這是生活現(xiàn)象，跟數(shù)學(xué)有什么關(guān)系？不善于用數(shù)學(xué)的眼光去審視生活問題的最基本的體現(xiàn)就是不會把外在的文字語言轉(zhuǎn)化成特定的數(shù)學(xué)語言，不能透過外在描述看到問題的本質(zhì)，無法建立問題的直觀模型。這時(shí)候，教師需要引導(dǎo)學(xué)生用幾何直觀圖畫出這個(gè)水果大棚，再對照圖片讓學(xué)生說一說塑料薄膜覆蓋在圖上的什么位置。經(jīng)過教師的引導(dǎo)，學(xué)生認(rèn)真觀察、思考后會發(fā)現(xiàn)，原來求塑料薄膜的面積就是求圓柱表面積的一半;求水果大棚的體積就是在求這個(gè)半圓柱的體積。這樣，通過建構(gòu)直觀模型，學(xué)生就能用精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語言將應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成求圓柱表面積和體積的數(shù)學(xué)問題。

（二）抽象幾何模型，豐富語言轉(zhuǎn)化

有這樣一道數(shù)學(xué)題：三個(gè)正方形橫著拼接成一個(gè)周長40分米的大長方形，求拼成的長方形的面積。對于小學(xué)低年級的學(xué)生來說，解答這種只提供文字信息的題目有一定困難，這時(shí)教師就需要讓學(xué)生將自然數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換為圖形語言，讓學(xué)生根據(jù)題意畫出直觀圖形。有學(xué)生通過數(shù)邊長的方法計(jì)算長方形的寬，即長方形的周長是由8條正方形的邊長圍出來的，寬便為40÷8=5（分米），由此算出長15分米，面積的問題也就迎刃而解;有學(xué)生則通過觀察圖形，發(fā)現(xiàn)長方形的長是寬的3倍，長和寬的和是40÷2=20（分米），如此一來，這個(gè)問題便可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)和倍問題，通過畫圖根據(jù)和倍問題的解題方式解決。對比兩種解答方式，我們可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維層次的差別，第一層次的學(xué)生能根據(jù)文字描述畫出對應(yīng)圖形，發(fā)現(xiàn)其中隱藏的信息并加以處理，解決問題;第二層次的學(xué)生能將圖形語言進(jìn)一步深加工，建立和倍問題模型。

如果說幾何直觀是一種學(xué)習(xí)意識，那么利用幾何直觀進(jìn)一步建立數(shù)學(xué)模型是學(xué)習(xí)者應(yīng)該具備的能力。教師要讓學(xué)生將抽象的文字描述轉(zhuǎn)換成直觀的圖形語言，再將文字與直觀圖形語言相結(jié)合，進(jìn)一步建立數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生的數(shù)學(xué)語言得到更全面的發(fā)展，學(xué)會從本質(zhì)上解決問題，從而提升學(xué)生解決問題的思維層次[3]。

結(jié)語

語言是反映人類心理、情感、思維的外在表現(xiàn)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要利用幾何直觀讓學(xué)生的形象思維躍然紙上，讓學(xué)生的抽象思維生根發(fā)芽，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)語言積極生長。教師要善于深入主題，挖掘教材，拓展資源，用幾何直觀架構(gòu)起各種數(shù)學(xué)語言互通的橋梁。學(xué)生在從幾何直觀走向數(shù)學(xué)語言的路上，能收獲描述、分析和解決問題的能力，并把這些能力內(nèi)化成自己的學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)動力和學(xué)習(xí)習(xí)慣，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)科素養(yǎng)的提升。

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