基于大概念的高中概率學習進階研究

摘 要：《普通高中課程標準》提出以學科大概念為核心來推動學生核心素養的培養，學生需要經歷多個過程以深入理解大概念。數學教學以大概念展開，學習進階立足于學生認知發展的大視角，實現教學結構化。文章基于大概念探索學習進階的三個階段：融會大概念，確定層級結構;劃分多水平，描述進階特征;評價與反饋，選擇測評工具。文章以高中數學概率知識點的教學為例，構建高中數學教學的學習進階框架。

關鍵詞：大概念;學習進階;高中概率

作者簡介：孟輝（1997—），女，遼寧省大連市遼寧師范大學。

通信作者：吳華（1964—），女，遼寧省大連市遼寧師范大學。

我國《普通高中課程方案》提到“進一步精選了學科內容，重視以學科大概念為核心，使課程內容結構化，以主題為引領，使課程內容情境化，促進學科核心素養的落實”[1]，這給高中數學教學提供了行動指南，也是高中數學教學的重要依據。

《普通高中數學課程標準》指出，高中數學學習評價更關注學生知識技能的掌握，更關注數學學科核心素養的形成和發展。學業質量標準被劃分為不同水平，這要求教師以進階性、整體性為原則進行教學。學習進階是對學生學習某一主題時的典型學習路徑的描述，一般是以核心概念為中心的若干概念序列。學習進階連接概念和教學，教師根據數學課程標準與知識結構梳理出大概念，根據概念間的層級關系，建立學生學習的“階”，并聚焦學生的認知發展，進行精準教學。本文以高中數學概率知識點的教學為例，結合大概念理念，探索高中數學教學中的學習進階。

一、理論框架

（一）大概念概述

1.大概念的內涵

國內眾多學者都發表了自己對于大概念的認識，他們雖然對大概念的內涵解讀各異，但是仍然就大概念的一些特點達成了一定共識，如大概念具有中心性和可遷移性等[2]。

2.大概念的類型

厘清大概念的類型對在教學中應用大概念具有至關重要的作用。從形式上看，大概念可以是一個概念或理論，還可以是一個主題或觀點等。從總體上看，我們可以將大概念的類型分為由圖1所示的層級結構[3]。

大概念具有相對性，即大概念有大有小，彼此之間相互聯系并可以相互轉化。數學學科大概念可以進一步分解成若干個下位概念，同樣的，下位概念也可以歸納到更大的概念中。這主要取決于數學知識與教學內容的多少，如數學學科單元間、數學學科單元內、數學學科課時內的概念，它們的范圍依次縮小，形成一個多層級的概念體系。

（二）學習進階概述

1.學習進階的內涵

本文引用美國國家研究理事會對學習進階做的界定，即學習進階是“隨著時間的不斷增加，學生對某一學習主題的思考和認識不斷豐富、精致和深入的一種過程”。

2.學習進階的要素

美國的學習進階研究者討論并總結學習進階的設計要素如下：

（1）大概念（Big ideas），即學科體系中居于核心地位的理論、概念、實踐或思維方式。

（2）出發點（Starting points），即學生開始課堂學習前已有的知識水平。

（3）錨定終點（Upper anchors），即期望學生達成的水平。

（4）多種中間水平（Multiple pathways），即起點與終點之間還存在多個中間水平，作為學生學習進階的發展路徑。若進階過程中包含多個進階變量，則分層的學習進階過程中可以有多個錨點。

二、基于大概念的學習進階設計

根據大概念的層級結構，學生學習一般從小概念開始，其每獲得一個層級的概念，就相當于在腦海中建立了一個知識固著點。當學生的概念層級累積得越來越高，學生的思維層次也會越來越高，這體現了學生認知思維的進階性。本文將大概念與學習進階結合，構建模型如圖2所示。

（一）融會大概念，確定層級結構

大概念類型復雜，涉及的核心概念和層級概念繁多。目前大概念的提取路徑主要是自上而下，本文以數學學科大概念的提取為例，具體路徑如下。

第一，數學課程標準。認真分析課程標準，分析課程標準中反復出現的高頻詞匯，從課程標準的語言表達邏輯中提取大概念。第二，數學核心素養。數學核心素養是指學生通過數學學習應形成的重要的思維品質和關鍵能力。要順應課程改革的理念，理解數學核心素養的內涵并將其融入教學。第三，抽象概括。大概念多是抽象概括的結果，可以基于教師的教學理解，從現象到本質，從特殊到一般，從局部到整體，根據知識的邏輯性來提取大概念。

提取出大概念之后，根據概念間的關系可以得到一個多層級的概念體系。

（二）劃分水平，描述進階特征

學習進階通常會涉及幾個進階層級，需規劃多個學習階段，我們可根據概念的層級關系劃分進階層級，綜合分析學情，對學生的認知水平進行進一步劃分和準確描述。

合理劃分學生的認知水平并進行準確描述，有助于精準反映學生認知水平的發展。許多教育家和心理學家都聚焦于個體認知的發展，研究出很多社會普遍認可的認知發展理論：整合個體各年齡段的認知特征進行分析的皮亞杰認知發展階段論;結合數學學科特點，杜賓斯基研究了學生概念學習的APOS理論;荷蘭的范希爾夫婦提出了學生幾何學習時的范希爾理論……這為劃分不同層級學生的學習進階水平奠定了堅實的理論基礎。

本文以高中數學概率教學為例，選擇瓊斯（Jones）團隊的認知劃分理論。瓊斯的研究團隊從數學學科的角度出發，在1997年和1999年間兩次對學生的概率思維水平進行了探究，最終將其分為主觀水平（Subjective level）、過渡水平（Transitional level）、不規范的量化水平（Informal Quantitative level）和數值水平（Numerical level）[4]。進階描述的流程主要包括確定出發點和錨定終點、劃分成就水平、進行準確進階描述等。

（三）評價與反饋，選擇測評工具

研究者確定學生學習主題后，先分析學生的出發點、錨定終點和中間水平，并創建有效的評測工具，根據評測的結果進行反思并及時調整學習進階水平，以更好地描述學生思維隨時間的變化。一般來說，最常用的評測工具就是試題，試題可以從課程標準提供的教學示例、教材例題以及教輔資料的練習題中選擇，選擇的試題要符合學生的認知習慣，盡量避免其他因素帶來的干擾。

三、基于大概念的概率學習進階設計

概率知識點屬于高中必修課程中的“概率與統計”主題，高中概率教學的目標之一是使學生領會隨機現象[5]。以“概率”這一概念為例，結合大概念視角下的學習進階模型（圖3），設計教學流程。

（一）確定高中概率知識點的層級結構

《普通高中數學課程標準》對高中概率必修部分內容的學習要求包括：能夠理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關系;結合具體實例，理解古典概型，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率;通過實例，理解概率的性質，掌握隨機事件概率的運算法則;能結合實例，會用頻率估計概率;結合有限樣本空間，了解兩個隨機事件獨立性的含義，能結合古典概型，利用獨立性計算概率。

通過對課程標準的分析，我們可以提取出高中概率知識點的四個基本層級：隨機性、樣本空間、概率比較、概率計算。學生對隨機性的認識是其概率思維發展的起點，也是其學習樣本空間和概率估計的前提條件。從知識邏輯出發，概率的比較和計算都要建立在理解樣本空間的基礎上。學生的概率學習從隨機性開始，往后其認知水平不斷提高。

（二）概率各水平進階描述

“隨機性—樣本空間—概率比較—概率計算”體現了學生的概率認知發展要經歷從認識隨機性到最終形成完善概率思維的過程，也體現了學生學習的進階性。根據進階層級對學生的認知思維水平進行劃分，本文選用瓊斯團隊的概率認知水平框架，每個水平的含義如表1所示：

以上述概率認知水平框架作為理論指導，圖3以“概率比較”為例，給出了具體的進階描述。經過對學生概率認知發展研究的回顧，我們發現何聲清等研究者均提及“隨機性”這一概念，且結果均表明，高中生在掌握隨機性知識上表現良好[6]。故本研究主要聚焦“樣本空間”“概率比較”和“概率計算”層級，根據瓊斯團隊的概率認知水平框架將其分別描述如下（表2）：

（三）精準設計學生作業

《關于進一步減輕義務教育階段學生作業負擔和校外培訓負擔的意見》中提出了義務教育中學生作業負擔較重的問題。精準設計作業可以幫助學生減輕作業負擔。以概率內容的學習為例，教師通過合理設計概率認知進階的測評工具可以及時追蹤學生思維隨著時間推移，沿著學習進階水平的發展狀況，從而能更加精準地設計作業，真正做到提質增效，從源頭改善題海式的作業模式，更好地滿足學生個性化發展需求。

結語

基于大概念的教學是以學習者為中心的教學，但在學生自主建構知識的同時，教師也要重視自身的引導作用，要在教學過程中激發學生的學習興趣，在探究中實現概念的生成。同時，小概念與大概念間多為抽象、概括的關系，它們的關系蘊含在知識背后，這就需要教師對學生做出進一步的引導，以幫助學生形成完整的知識結構體系。

基于大概念理念的教學是可操作的，學習進階為大概念教學設計提供了實踐途徑，使其能在真實教學中有序進行。大概念和學習進階分別從知識結構和思維認知兩個角度出發，數學教學以大概念展開，學習進階立足于學生認知發展的大視角，整體把握課程，有助于教師精準掌握學生的學習進展，因材施教，響應我國的“雙減”政策理念，更好地組織教學。

[參考文獻]

中華人民共和國教育部.普通高中課程方案（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020：4.

李剛，呂立杰.大概念課程設計：指向學科核心素養落實的課程架構[J].教育發展研究，2018，38（Z2）：35-42.

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白勝南. 中學生概率概念學習進階的構建問題研究[D].長春：東北師范大學，2021.

章建躍，程海奎.高中必修課程中概率的教材設計和教學思考：兼談“數學核心素養如何落地”[J].課程·教材·教法，2017，37（5）：27-33

何聲清，鞏子坤.6-14歲兒童概率概念學習進階[J].課程·教材·教法，2017，37（11）：61-67.