2022年全國新高考Ⅰ卷數學第18題解析

張必榮

摘要：解三角形一直是高考數學試卷中的一個重要知識點，是溝通初中平面幾何與高中三角函數等知識的紐帶，實現數學知識與能力的交匯與融合.結合一道高考真題加以實例分析，從不同思維視角切入，總結解題規律，啟示教學學習，引領并指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：解三角形;二倍角公式;正弦定理;基本不等式

解三角形問題經常與平面幾何、函數與方程、三角函數、平面向量、基本不等式等相關知識交匯與融合，充分落實新課標中“在知識交匯點處命題”的指導思想，是高考數學命題中的一個基本考點，倍受各方關注.

1 真題呈現

高考真題 （2022年新高考Ⅰ卷數學·18）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos A1+sin A=sin? 2B1+cos 2B.

（1）若C=2π3，求B;

（2）求a2+b2c2的最小值.

2 真題剖析

本題通過兩小題的合理設置，以題設中的三角函數關系式為背景，通過三角恒等變換公式的應用與轉化來求解對應的角的大小;并通過角之間的關系構建，以及正弦定理或平面幾何知識的應用，化邊為角，利用基本不等式來確定對應代數式的最值等.

借助問題的設置，很好地考查邏輯推理、數形結合、數學運算等數學核心素養.破解問題的關鍵在于善于審題，妙用定理（三角形的內角和定理、正弦定理等），借助公式（誘導公式、三角恒等變換公式等），采用有效的策略，合理化歸與轉化，優化解題過程，提升解題效益.

3 真題破解

解法1：倍角公式法.

（1）由二倍角公式，可得cos A1+sin A=sin 2B1+cos 2B=2sin Bcos B2cos2B=sin Bcos B，

則有sin B=cos Acos B-sin Asin B=cos（A+B）=-cos C=-cos2π3=12，

而0

（2）由（1）知-cos C=sin B>0，則cos C<0，所以C∈π2，π.

又A，B均為銳角，故B=C-π2.

所以，sin A=sin（B+C）=sin（2C-π2）=-cos 2C.

由正弦定理，可得a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=cos22C+cos2Csin2C=（1-2sin2C）2+（1-sin2C）sin2C=

4sin4C-5sin2C+2sin2C=4sin2C+2sin2C-5≥2 4sin2C×2sin2C-5=4 2-5，當且僅當4sin2C=2sin2C，即sin C=142時，等號成立.

所以a2+b2c2的最小值為4 2-5.

點評：根據題設條件中的三角函數關系式，利用二倍角公式加以展開，通過兩角和的余弦公式進行變形與轉化，結合條件中角的信息求解即可;利用角之間的關系，綜合正弦定理化邊為角，結合誘導公式與二倍角公式的轉化，利用基本不等式來確定相應的最值.二倍角公式是問題破解的關鍵，同時綜合誘導公式、兩角和與差公式等.

解法2：函數單調性法.

（1）由題意得

cos A1+sin A=sin 2B1+cos 2B=cos（π2-2B）1+sin（π2-2B）.

設函數f（x）=cos x1+sin x，x∈（0，π）.由f′（x）=-sin x-1（1+sin x）2<0，可知函數f（x）在（0，π）上單調遞減.

所以A=π2-2B，結合A+B+C=π，可得C=π2+B.又C=2π3，所以B=C-π2=π6.

（2）由（1）可知A=π2-2B，C=π2+B.

由正弦定理，可得a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=cos22B+sin2Bcos2B=（2cos2B-1）2+1-cos2Bcos2B=4cos4B-5cos2B+2cos2B

=4cos2B+2cos2B-5≥2 4cos2B×2cos2B-5=4 2-5，當且僅當4cos2B=2cos2B，即cos B=142時等號成立.

所以a2+b2c2的最小值為4 2-5.

點評：根據題設條件中的三角函數關系式，利用誘導公式加以同構化處理，利用求導法確定對應三角函數的單調性，進而構建角之間的關系，并利用條件中角的信息來求解;利用角之間的關系，綜合正弦定理化邊為角，結合誘導公式與二倍角公式的轉化，利用基本不等式來確定相應的最值.三角函數關系式的同構并結合函數單調性的判定，合理構建角之間的關系，是破解問題的關鍵.

解法3：半角公式法.

（1）由題意得cos A1+sin A=cos2A2-sin2A2cosA2+sinA22=

cos A2-sin A2cos A2+sin A2=1-tan A21+tan A2=tanπ4-A2，

sin 2B1+cos 2B=tan B.

由cos A1+sin A=sin 2B1+cos 2B，可得tanπ4-A2=tan B.結合函數y=tan x在0，π2上單調遞增，

可得π4-A2=B，即π2-A=2B，亦即A=π2-2B.

由A+B+C=π，可得C=π2+B.又C=2π3，所以B=C-π2=π6.

（2）同方法2，可得a2+b2c2的最小值為4 2-5.

點評：根據題設條件中的三角函數關系式，利用半角公式、兩角差的正切公式等加以變形，結合正切函數的單調性，構建角之間的關系，并利用條件中角的信息來求解;而求解三角形的邊所對應的關系式的最值問題，同樣可以利用基本不等式來確定相應的最值問題.半角公式的巧妙應用與轉化，為角之間的關系構建提供更加廣闊的思路.

解法4：平面幾何法.

（1）由C=2π3，可得A=π3-B，

則cos A1+sin A=cosπ3-B1+sinπ3-B=cos B+ 3sin B2+ 3cos B-sin B

又sin 2B1+cos 2B=2sin Bcos B2cos2B=sin Bcos B.

所以cos B+ 3sin B2+ 3cos B-sin B=sin Bcos B，即sin B=12.

而0

（2）由（1）知-cos C=sin B>0，則cos C<0，所以C∈π2，π.

又A，B均為銳角，故B=C-π2.

如圖1所示，在AB邊上取一點D，使CD=BD=m，AD=n，此時∠ACD=π2.

由cos 2B=2cos2B-1，可得cos B= cos 2B+12= mn+12，

所以a=BC=2mcos B=2m mn+12.

所以，a2+b2c2=2m2（mn+1）+n2-m2（m+n）2=2m2+n2-mnn（m+n）=2（mn）2+1-mnmn+1.

令mn+1=t>1，利用基本不等式，可得a2+b2c2=2（mn）2+1-mnmn+1=2t2-5t+4t=2t+4t-5≥2× 2t×4t-5=4 2-5，當且僅當2t=4t，即t= 2時等號成立.

所以a2+b2c2的最小值為4 2-5.

點評：根據題設條件中的三角函數關系式，利用三角形的內角和公式加以轉化，通過兩角差的正弦與余弦公式以及二倍角公式加以展開，進而化簡三角關系式，求得對應的角;確定角B的大小以及對應角之間的關系后，要求解三角形的邊所對應的關系式的最值，可以借助平面幾何圖形，引入參數，結合三角函數的定義、勾股定理等，結合幾何直觀轉化，通過關系式的變形與參數的構建，借助基本不等式來確定最值.利用平面幾何法分析與解決一些解三角形的相關問題，更加直觀形象.

4 教學啟示

4.1 思維視角歸納

破解解三角形問題的兩種常見思維視角：

①代數角度.根據題設條件，利用正弦定理或余弦定理等，實現三角形中邊與角之間的巧妙轉化，進而構建關于三角形的角或者邊等元素之間的關系進行分析與求解;利用平面直角坐標系的構建，通過相應的坐標表示來尋找三角形的角或者邊等元素之間的關系來應用.代數角度中，經常還要綜合三角函數、不等式、平面解析幾何等相關知識來分析與處理.

②幾何角度.根據題設條件，作出相應的平面幾何圖形，合理尋找平面幾何圖形中蘊藏的邊或者角等元素之間的幾何關系，通過直角三角形以及平面解析幾何知識等來分析與求解.

4.2 思維能力培養

數學學習不能只注重“刷題”，做題要注重質量，少而精.通過做題掌握數學基礎知識，提升數學思維能力，培養思維的多角度，避免思維定式，做到舉一反三，是我們“促雙減”過程中必須要思考的問題.