借助隱圓解決向量問題 直觀想象彰顯魅力

龐良緒

摘要：平面向量具有幾何與代數的“雙重身份”，加之解法靈活多樣，備受命題者的青睞.縱觀歷年的高考及模擬試題，它們大多數都有優美的幾何背景，若能透過向量語言把握其幾何直觀，尤其其中一些試題若能挖掘出隱含的圓，可以避免復雜的代數運算，能使問題快速獲解.

關鍵詞： 隱圓;平面向量;直觀想象;問題解決

《普通高中數學課程標準（2017年）》指出，直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決問題，主要表現為：建立數與形的聯系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題[1]. 平面向量具有幾何與代數的“雙重身份”，加之解法靈活多樣，備受命題者的青睞.縱觀歷年的高考及模擬試題，它們大多數都有優美的幾何背景，因此，若能透過向量語言把握其幾何直觀，尤其其中一些試題若能挖掘出隱含的圓，可以避免復雜的代數運算，能使問題快速獲解.下面舉例說明.

1 半徑圓

若 AB=a ，則可以以A為圓心，a為半徑構造圓.

例1已知a=4，b=c=2 ，則a-b·c

-b 的最大值為??? .

解析：設OA=a，OB=b

，OC=c，如圖1所示.以O為圓心，分別以2，4為半徑畫同心圓，則a-b·c-b=BA·BC

=BA·BC·cos∠ABC.由圖形可知，當BA 取最大值6，BC取最大值4，且BA 和BC同向時，則a-b·c-b的最大值為24.

例2已知a，b是單位向量，a·b=0，若向量c滿足c-a-b=1，則c 的取值范圍為??? .

解析：設OA=a，OB=b，OC=c，如圖2所示.以正方形OADB的頂點D為圓心，1為半徑構造圓.由OD=OA+OB=a+b ，得OD=2 ， c-a-b=OC-OD

=DC=1.由于點C是圓周上任一點，則當O，D，C 三點共線且點C在點O，D之間時， c取得最小值2-1;當O，D，C 三點共線且點D 在點O，C之間時， c取得最大值2+1.即c∈2-1，2+1.

2 直徑圓

若OA=a，OB=b，OC=c，

a-c·b-c=0，

OA-OC·OB-OC=0 ，

CA⊥CB，則點C在以AB為直徑的圓上.

例3已知向量a，b滿足|a|=2，|b|=3，且向量a，b的夾角為60°，（a-c）·（b-c）=0，則c的最小值是??? .

解析：如圖3所示，設OA=a，OB=b，OC=c.由題意得∠AOB=π3，|OA|=2， |OB|=3.由CA=a-c，CB=b-c，得a·b=2×3×cos 60°=3.

又（a-c）·（b-c）=0，則CA⊥CB，所以點C在以AB為直徑的圓上.

取AB的中點為M，則OM=12（OA+OB）.設以AB為直徑的圓與線段OM的交點為E，則c的最小值是OE.因為|OM|=14（OA+OB）2

=12OA2+2OA·OB+OB2

=192，且AB=OA2+OB2-2OA·OB·cos 60°

=7，所以c的最小值是|OE|=|OM|-|ME|=|OM|-12|AB|

=19-72.

例4已知向量a，β是平面內兩個互相垂直的單位向量，且3α-γ·4β-γ=0.則γ的最大值為??? .

解析：如圖4所示， 設OA=3α，OB=4β，OC=γ.由已知得AC⊥BC，于是，點C在以AB為直徑的圓上，且此圓過原點，從而OC的最大值為5.

3 四點圓

若四邊形ABCD對角互補，則A，B，C，D 四點共圓.

例5設向量a，b，c滿足a=b=1，a·b=-12，〈a-c，b-c〉=60°，則c的最大值為?? .

解析：由a·b=-12，可得a，b的夾角為2π3.又

〈a-c，b-c〉=π3，

若OA=a，OB=b，OC=c，則∠AOB=2π3，∠ACB=π3.

如圖5所示，當O，A，C，B四點共圓時，

|AB|=|b-a|=（b-a）2=b2-2a·b+a2=3.設此圓的半徑為R，則2R=ABsin∠ACB=2，即R=1.所以當且僅當OC為圓的直徑時，|OC|=|c|有最大值，最大值為2R=2.

例6 在平面四邊形OABC中，已知OA=3，OA⊥OC，AB⊥BC，∠ACB=60°，若OB·AC=6，則OC=?? .

解析：如圖6所示，分別以OA，OC所在直線為x，y 軸，建立平面直角坐標系，設OC=m.由∠CBA=∠AOC=90°，可知O，A，B，C四點共圓，∠AOB=∠ACB

=60°.設Bb，3b，則OB·AC =b，3b·-3，m=-3b+3bm =6;又由AB⊥BC，得AB·BC

=b-3，3b·-b，m-3b =

-4b2+3b+3bm=0 .

解得m=3.故|OC|=3.

4 極化圓

極化恒等式：在△OAB 中，M是AB 的中點，OA·OB=OM2-14AB2 .當線段AB固定時，可根據極化恒等式構造以AB的中點M為圓心的極化圓.

例7已知平面向量a，b，c滿足a·b=60，a-b=4，a-c=1 則c 的取值范圍為?? .

解析：如圖7所示，作OA=a，OB=b，OC=c，線段AB的中點為M且AB=4，點C在以點A為圓心的單位圓上.由極化恒等式OA·OB=OM2-14AB2，得OM=8 ，即點O在以M為圓心8為半徑的圓上.因為點C在以A為圓心的單位圓上，所以c的最小值|EF|=5， c的最大值|DE|=11.故c∈5，11.

5 阿波羅尼斯圓

A，B為平面內兩個定點，若該平面內的動點P滿足PA

PB=λ（λ>0，λ≠1） ，則點P的軌跡為圓，該圓的圓心在直線AB上.

例8設點P是△ABC所在平面內的動點，滿足CP=λCA+μCB，3λ+4μ=2且PB=PC ，若|AB|=3 ，則△ABC的面積的最大值為?? .

解析：如圖8所示，在邊AC上取一點M，使|MC|=2|MA|，取BC的中點N.由PB=PC可知，點P在BC的垂直平分線上.又CP=λCA+μCB=3λ2CM+

2μCN，因為3λ2+2μ=1，所以點P在MN上.因此，MN⊥BC，|MB|=|MC|=2|MA|，即點M的軌跡是圓心在AB上，半徑r為2的阿波羅尼斯圓.

因此，SΔABC≤12·|AB|·3r=9.

上述介紹了借助隱圓解決平面向量問題，需要指出的是，在問題解決的過程中，并不是追求高難度的解題技巧，而是著眼于對數學問題和數學本質的理解，在重視幾何直觀的同時，也不能忽視代數運算.要引導學生達成“腦中有形”（亦即數學抽象、直觀想象），心中有數（亦即邏輯推理、數學運算），手中有術（亦即數學建模、數據分析）[2] .

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]岳峻.基于GeoGebra的“數學可視化”助力探究教學[J].中學數學，2020（5）：45-46，49.